量子力学 中科大课件 q9讲稿 第九章 电磁作用分析和重要应用

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1、第二部分进一步内容第九章电磁作用分析和重要应用电磁和弱作用是迄今了解得最为清楚的基本作用力。特别是电磁作用部分，在经典力学中对其基本规律就已有很好的研究和阐述。因此，量子力学对于电磁作用下单体、两体等可解问题的解答就成为检验量子力学正确性的试金石和支撑点。除已叙述过的库仑场束缚态问题之外，本章继续阐述在电磁场作用下，粒子的定态问题和某些含时问题。量子力学的确不负所望，继库仑场之后，在这类问题上再次给出了微观粒子电磁现象的正确、统一的理论描述。不仅如此，根据AB效应，量子力学还指出了经典电磁理论仅仅用

2、场强描述（而不用势来描述）全部电磁现象的局限性，并以简明的方式丰富了规范理论关于位相物理学的内容。§9.1,电磁场中的方程1,最小电磁耦合原理及电磁场中的方程在建立方程的一次量子化中，使用了以下对应(9.1)现在有电磁场情况下，记电磁势为。按经典QED的“最小电磁耦合原理”：对电荷为的粒子，其和之间的动力学关系如同无电磁场时和的动力学关系一样Л.Д.朗道，E.M.里夫席茨，场论，高等教育出版社，1965。。这里为正则动量（广义动量）。由这个原理和正则量子化规则可知，244为了得到有电磁场时的方程，量

3、子化规则应当变更成为（9.2）这就将电磁势引进了方程。原则上，（9.2）式应当是一个假设，它的正确性按照由其导出的结论与实验是否符合来决定。迄今的实验事实都证明（9.2）式是对的。于是，有电磁场时的方程为(9.3)这里，V为其它（如引力势等）势能项，是机械（普通）动量算符，为正则动量算符将和其正则动量量子化为满足对易子=的算符，称为正则量子化方法。设L为有电磁场下粒子的拉氏量，按Legendre变换，得哈密顿量H=，这里为正则动量。其中为粒子的机械动量，将（而不是）量子化为算符，即为正则量子化。这一

4、量子化方法对任何非奇异的拉氏量系统（即Hessian行列式不等于零，Legendre变换可以进行），均普遍适用。这里已将电磁场作为经典的外场来处理，所以这里的量子系统拉氏量是非奇异的，可以实施正则量子化。。现在需要注意，机械动量正则动量与此同时，粒子的速度算符（9.4）（对无电磁场情况，粒子机械动量=粒子正则动量，仍然是正则量子化。）2,方程的某些考察244将方程（9.3）展开，为此先计算其中{，}为反对易子符号。这里第二步等号是因为已取定了横向规范条件。于是得到方程（9.3）的展开形式(9.5a)

5、其次，往求概率流密度的表达式并考察概率守恒问题。对方程（9.3）取复共轭，得（9.5b）将这个方程和方程（9.3）分别乘以和并相减，即得令，（9.6a）前者为态中处的概率密度，后者为在电磁场中态的（态的平均）流密度。于是仍存在表征概率守恒的连续性方程(9.6b)这时表达式和以前不同，多出含电磁场矢势的第二项，它显示出磁势影响了带电粒子的机械动量，从而使概率流密度有相应的变化。其三，考察一下电磁场下方程的规范不变性。对任意可微函数244(它具有磁通的量纲),可引导出对电磁势的一个规范变换(9.7a)可

6、以证明,在方程（9.3）中,当电磁势,即经受（9.7a）式的规范变换时,只需波函数也同时经受如下位相变换(注意此相因子依赖于空间变数，是定域的)（9.7b）则方程（9.3）的形式将保持不变。这说明：电磁场中方程（9.3）具有定域规范变换不变性。证明：假定变换后的方程成立，即有这里分别由上面变换式（9.7a，b）表示，往证由此可以导出原先方程（9.3）。注意有由此即得规范变换之前的方程（9。3）：由于电磁势是不确定的,它们可以相差任一定域规范变换,因此这时粒子的波函数也就可以有一个局域的任意位相因子。

7、244最后,再考察一下时间反演问题。对于一个定态问题，(9.8)在时间反演下,,于是只有同时也改变磁场，即令(由于,所以也即)，方程才可以保持不变，这与经典力学磁场中运动的情况相同。§9.2均匀磁场中库仑场束缚电子的运动1,均匀磁场中类氢原子基本方程的考查将上面方程用于均匀磁场中的类氢原子问题。此时无外加电场，而（）注意，前面考虑磁场作用时，漏算了与自旋有关的两项作用：旋—轨耦合能和自旋磁矩在外磁场中的附加能，它们的表达式分别为和于是补入这两项之后，此系统的更全面的Hamilton量应当为（9.9）

8、其中244此处含的项显然正是轨道磁矩在外磁场中的附加能。取，于是体系Hamilton量成为（9.10）现来估算一下项和项的比值。原子的，对于磁场高斯，有可知，如果磁场不是非常强，和含的一次幂项相比可以略去项。总之，考虑到自旋及轨道磁矩对外磁场取向的附加能以及旋—轨耦合能这三项附加能，并略去项，最后得到均匀外磁场下氢原子的Hamilton量为(9.11)如果将中的代以，方程（9.11）也可适当推广地用于非类氢原子。下面为书写简明，记即得(9.12)这里，角动量和244均