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1、非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如yt=a0+a1+utyt=a0+ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为
2、可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。⑴指数函数模型yt=(4.1)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)令Lnyt=yt*,Lna=a*,则yt*=a*+bxt+ut(4.3)变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。图4.1yt=,(b>0)图4.2yt=,(b<0)⑵对数函数模型yt=a+bLnxt+ut(4.4)b>0和b<0两种
3、情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=Lnxt,则yt=a+bxt*+ut(4.5)变量yt和xt*已变换成为线性关系。11图4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)图4.4yt=a+bLnxt+ut,(b<0)⑶幂函数模型yt=axtb(4.6)b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为yt*=a*+bx
4、t*+ut(4.8)变量yt*和xt*之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7)式也称作全对数模型。图4.5yt=axtb图4.6yt=axtb⑷双曲线函数模型1/yt=a+b/xt+ut(4.9)也可写成，yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)b>0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。11图4.7yt=1/(a+b/xt),(b>0)图4.8yt=a+b/xt
5、,(b>0)双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)b>0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。⑸多项式方程模型一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut(4.12)其中b1>0,b2>0,b3>0和b1<0,b2>0,b3<0情形的图形分别见图4.9和4.10。令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3x
6、t3+ut(4.13)这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。图4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut图4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的图形分别见图4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.
7、11相似。11图4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut图4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut⑹生长曲线(logistic)模型yt=(4.16)一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常见形式为f(t)=a0-atyt==(4.17)其中b=。a>0情形的图形分别见图4.13和4.14。美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的生长
8、上限和下限。=k,=0。a,b为待估参数。曲线有拐点，坐标为（,），曲线的上下两部分对称于拐点。图4.13yt=k/(1+)图4.14yt=k/(1+)为能运用最小二乘法估计参数a,b，必须事先估计出生长上极限值k。线性化过程如下。当k给出时，作如下变换，k/yt=1+移项，k/yt-1=取自然对数，Ln(k/yt-1)=Lnb-at+ut(4.18)令yt*=Ln(k/yt-1),b*=Lnb,则yt*=b*-at+ut(4.19)11此时可用最小二乘
