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1、让学生积极主动有序有效地探究——“抛物线焦点弦的性质的探究”龚浩生(江西省宜丰中学336300)“数学教学的基本要点应是以数学知识的教学为载体，开启学生的智慧大门，引发学生实质性的数学思维，促进学生的全面发展，所以数学课堂中应该有更多的探究和理解，更少的简单记忆和机械模仿”[1]．普通高中数学课程标准指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．”[2]在学生已学完椭圆、双曲线、抛物线的基本内容后，学生对圆锥曲线的知识及解析几何的方法有了较为全面的了解和认识，注意到坐标法是体现数形结合思想的典范，且直线与
2、圆锥曲线的关系具有较大的自主探究空间，此时若能根据学生的知识基础和能力基础设计适当的课题引导学生在教材基础上作进一步的探究学习，对于训练学生的思维与探究能力，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识必能收到较好的效果．基于上述教学理念与实际背景，我们在学生学习完人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》第二册（上），第8．6节“抛物线的简单几何性质”后，安排了的一堂探究课----“抛物线焦点弦的性质的探究”．探究内容源于教材、又高于教材，是教材内容的延伸，是适合于学生探究的．现给出课堂实录如下（按一小时设计本课容量）：1．引出课题师：（先作简单自我介绍，因本课实录为
3、异地借班上课）很高兴有机会和大家一起学习数学、探讨数学,通过本课的学习,我希望不但能增长你的知识,也能让你学会发现问题、提出问题、探究结论,并感受数学的发现过程与发现的乐趣.设计意图：拉近陌生师生之间的距离，给学生以亲切感，为本课创设良好的探究氛围，揭示本课的主要教学意图．ＡOxyF师：同学们已经学习了抛物线,现在我们来看抛物线的图像,请同学们回顾它的焦点坐标是什么?生：.师：准线方程是什么?生：.师：连接抛物线上的点与焦点的线段叫什么？生：焦半径.师：焦半径AF的长有什么公式吗？生：有，.师：连接抛物线上任意两点的线段叫抛物线的弦，特别地，经过焦点的弦又可叫什么呢？生：焦
4、点弦.师：好！现在我们就一起来探究抛物线的焦点弦的性质.（板书课题：抛物线焦点弦的性质的探究）设计意图：以旧引新，明确思维起点，既面向全体、集中学生的注意力，又提出本课的总的思维任务，即探究目标．FO2．代数性质的探究师：取焦点弦AB,设、,同学们知道关于A、B两点的坐标有什么结论吗?生：有,.师：这两个结论是怎样得到的?得到了这两个积是定值后,你们有没有想过和又怎样呢?设计意图：从学生已知的结论开始，引导学生进行思维发散、迁移，探究由此起步．生：上述结论可由韦达定理得出．设AB的方程为,代入抛物线方程,得,所以,,且.师：很好!由此看出、的和不是定值,与有关．这里的有什么
5、意义吗?生：是斜率的倒数．AB的斜率显然不为零．若斜率不存在,则.师：那么、的和与有关吗?生：与有关,由AB的方程得:.师：到此，关于焦点弦两端点的坐标我们有四个重要结论，请回忆一下，这四个结论是＿＿生：，；,．其中为焦点弦的斜率的倒数．设计意图：第一轮的探究以课本习题关于焦点弦两端点的相应坐标积的结论为起点，引出相应坐标和的结论，探究步子较小，有利于学生适应探究的节奏，并为后续的探究作好铺垫．师：接下来再探究什么呢？设计意图：有了探究的情境，设计这个元认知发问，尽可能让学生提出探究问题，这也是“暗中”引导学生怎样进行探究[3]．生：长度，看看焦点弦长有怎样的公式？师：很好
6、，大家想想，怎样来推导焦点弦长的公式呢？生：可以用，其中为斜率，．师：对．这种方法也可求一般的弦长，对于抛物线的焦点弦而言，还有更好更快的方法吗？生：用焦半径公式，.师：这个公式用坐标很简洁地表达了焦点弦长，还能用其它的量来表达焦点弦长吗？生：还可用斜率表达，由，可得.师：斜率不存在时怎么办？生：在斜率不存在时，AB垂直于轴，，故.师：好，再想想，焦点弦长还能用什么量表达吗？生：还可用倾斜角表达，因为，所以师：在斜率不存在时，这个公式怎么样？生：在斜率不存在时，，，公式仍然成立.师：对，请大家观察焦点弦长公式，看看焦点弦长有没有最值？生：当时，为最小值，没有最大值.师：这表
7、明，焦点弦中通径是最短的，长为.至此，我们得到了焦点弦长的几个结论是――生：．设计意图：第二轮的探究到此稍作停顿．让学生回味、整理一下新的知识点，也让思维暂时落后的学生消化一下新知识，以利于开展下一轮的探究．所有学生的参与是形成积极主动探究氛围的推动力．师：注意到焦点弦AB被焦点F分为两段AF、BF．AB的长就是与的和,可见与的和已有了公式，那么与的差呢？积呢？又有什么结论？设计意图：通过问题的变式引导学生思考新的问题，也让学生见识并领悟怎样提出新的探究问题，以利于学生学会自己提出问题、探究问题．生：.师：不妨来求
