线性代数习题集参考答案解析

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1、第一章行列式§1行列式的概念1．填空(1)排列6427531的逆序数为，该排列为排列。(2)=，=时，排列1274569为偶排列。(3)阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。(4)在6阶行列式中，含的项的符号为，含的项的符号为。2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)解：该行列式的项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。(2)解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行

2、列式值为。3．证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：元排列共有个，设其中奇排列数有个，偶排列数为个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有，同理得，所以。1．若一个阶行列式中等于0的元素个数比多，则此行列式为0，为什么？2．阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？（提示：利用3题的结果）3．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）（2）§2行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。(1)(2)(3)1．证明下列恒等式(1)（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)(3)

3、(提示：从最后一列起，后列的倍加到前一列)1．已知四阶行列式D的第三行元素分别为：；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，，4，求的值。2．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：能被13整除。（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）3．已知，求：(1)；(2)和。（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）1．设，求的根。解1：首先，行列式展开式中含项，所以有四个根。而通过观察，将代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，即为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：解2：（注意各行元素之和

4、相等，可计算的值后，求根。）§3行列式的计算1．利用三角行列式的结果计算下列阶行列式(1)（提示：注意各行（列）元素之和相等）(2)（提示：可考虑按第一行（列）展开）(3)（提示：可考虑第一行的倍加到各行，再化为三角行列式）1．用迭代法计算下列行列式(1)解：按第一行（列）展开，得递推公式：=+。于是==。由此得：+++。(2)。解：按第一行展开，有递推公式+，得递推公式：①同理可得：②联立①与②，解方程组得：1．利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1)，（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）(2)，解：在行

5、中提出因子，4．构造辅助行列式法计算下列行列式(1)(缺行的范德蒙行列式)解：构造辅助范德蒙行列式，为中元素的余子式，而(2)解：构造辅助行列式，则，而5．用数学归纳法证明：证明：（1）时，等式显然成立；（2）假定等式对于小于阶的行列式成立；（3）（下证阶行列式成立）由于，+（注：按最后一行（列）展开）==所以，6．，求(提示：将所有行加到最后一行)§3克来姆（Cramer）法则1．用克来姆法则解下列方程组(1)(2)2．当取何值时，方程组有非零解？第一章矩阵§1矩阵的概念及运算1．判断正误（1）设为矩阵，为矩阵，若，则与必为同阶方阵。（）（2）与为阶方阵，为实数，有。

6、（）（3）与为阶方阵，。（）（4）与为阶方阵，。（）（5）为阶方阵，。（）（6）与为阶方阵，。（）（7）为阶方阵，。（）（8）与为阶方阵，。（）（9）与为阶方阵，。（）2．选择题(1)设均为阶方阵，，则（）(A)（B）(C)(D)(2)若为实对称矩阵，则的值（）(A)（B）(C)(D)不能确定（3）设为方阵，，则为（）(A)（B）(C)(D)不能确定1．设，，计算：(1)；(2)；(3)。2．计算。(提示：先计算出，以此归纳出，然后用数学归纳法证明结论)3．设为阶方阵，若对任意的维列向量，均有，证明：。(提示：由于维列向量的任意性，考察维列向量，证中各元素为0)1．设为

7、实对称矩阵，若，证明。(提示：证中各元素为0)2．若为阶方阵，且满足。若，求。(提示：先证明)3．试证：若为奇数阶方阵，且满足，，则。(提示：先证明)4．若为奇数阶反对称方阵，证明：。(提示：由反对称阵的定义证明)1．设都是对称矩阵，证明：为对称矩阵的充要条件是。2．设阶方阵，，且与的各行元素之和为1，是矩阵，且每个元素都为1，求证：(1)；(2)的各行元素之和都等于1；(3)若各行元素之和分别为，则的各行元素之和都等于什么？§2逆矩阵1．判断正误(均为阶方阵)(1)。()(2)。()(3)为阶方阵。则或。()(4)。()(5)，。()(