《线性代数笔记》word版

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1、线性代数笔记第一章行列式1第二章矩阵2第三章向量空间3第四章线性方程组5第五章特征值与特征向量5第一章行列式1.3.1　行列式的性质　　给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。　　性质1转置的行列式与原行列式相等。即　　(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)　　性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。　　推论1若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。　　推论2若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。可以证明：任意一个奇

2、数阶反对称行列式必为零。　　性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。　　以二阶为例　　推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。　　性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。　　性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，　　注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。　　性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。　范德蒙德行列式例10范德蒙行列式……　　　　　.=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)　　1.

3、4　克莱姆法则　　　定理1.4.1对于n阶行列式　　　　　　　　定理1.4.2如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:　　　　　　定理1.4.3如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论　如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。　　第二章矩阵一、矩阵的运算1、矩阵的加法设A=（aij）m×n ，B=（bij）m×n ，则A+B=（aij+bij）m×n 矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：（A+B）+C=A+（B

4、+C）（3）A+0=0+A=A此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=02、矩阵的数乘设A=（aij）m×n，K为数，则KA=（Kaij）m×n矩阵的数乘适合下列运算规则：（1）K（A+B）=KA+KB（2）（K+L）A=KA+LA（3）（KL）A=K（LA）（4）1*A=A（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）3、矩阵的乘法设A=（aij）m×n

5、，B=（bjk）n×l，则A*B=C=（cik）m×l其中C=Σaijbjk（j=1，n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵）矩阵的乘法适合以下法则：（1）结合律：（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BC                    C（A+B）=CA+CB（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方

6、幂是有意义的，即Ak=A*A…A共k个A相乘，从而有（1）AkAl=Ak+l（2）（Ak）l=Akl（3）InA=AIn=A4、矩阵的转置将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A/注意A是m×n矩阵，则AT为n×m矩阵矩阵的转置适合下列运算法则：（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT（4）（AB）T=BTAT5、方阵的逆矩阵　　设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则　　1.可逆，且。AA-1=A-1A=E　　2.AB可逆，。　　　　3.也可逆，且。（A-1）k=（Ak）-1

7、　　4.kA也可逆，且。（注：K不能为0）　　5.消去律设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。　　若a≠0，ab=ac则b=c。　　6.设A是n阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中k，l是任意整数。　　7.设A是n阶可逆方阵，则。2.3.1　逆矩阵的定义　　定义2.3.1设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。　　则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。　　若这样的B不存在，则称A不可逆。　　定理2.3.1可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。　　定理2.3.2n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。　　推论设A，B均为n阶

8、方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。　　　2.4.1　分块矩阵的概念　　　对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子