寇海燕高斯塞德尔迭代解线形方程组.doc

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1、高斯-塞德尔迭代解线形方程组寇海燕（包头师范学院数学科学学院）摘要：本文主要说了用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及例题分析。关键字：简单迭代高斯-塞德尔迭代收敛条件1.1迭代法的一般形式设A为非奇异矩阵，，则线性代数方程组（1.1）有唯一解。现将矩阵A分裂为矩阵N与P的差：A=N—P其中N为非奇异矩阵。于是方程组（1.1）可表示为（1.2）即若记，则（1.1）可以写为等价形式：（1.3）据此，我们便可以写出单步定常线性迭代格式：（1.4）其中矩阵B为迭代矩阵。之所以称其为单步是指计算时仅用到。定常是指B和均与无关，线性是指为的线性影射。对于任意给定的迭代初值，则由（1.4）

2、便可生成一向量序列{}，我们的目的是求方程（1.1）的解，因此我们希望为此，我们引入下述定义：定义1.1若存在，使得对任意的近似向量，由迭代格式（1.4）产生的序列{}都收敛到，即则称迭代格式（1.4）是收敛的，否则称之为发散的。显然，若迭代格式收敛，即，则为（1.3）的解。由此看来，用迭代法解线性方程组（1.1），需要解决如下三个问题：（1）迭代格式的构造；（2）迭代格式的判敛；（3）迭代格式收敛快慢的估计。在本文我们将集中研究常用的迭代方法，即高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代。2 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法2.1高斯-赛德尔迭代计算　在雅可

3、比迭代中，用的值代入方程中计算出的值，的计算公式是（2.1）事实上，在计算前，已经得到的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此的计算公式可改为：（2.2）即用向量计算出的值，用向量计算出的值，用向量计算出的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好。构造方程组的高斯-塞德尔迭代格式的步骤与雅可比类似，设将方程组中每个方程的留在方程的左边，其余各项都移到方程的右边；方程两边除以，得到下列同解方程组：　　记，对方程组对角线以上

4、的取第步迭代的数值，对角线以下的取第步迭代的数值，构造高斯—塞德尔迭代形式：（2.3）2.2　高斯—塞德尔迭代矩阵　　设　　写成等价矩阵表达式：　构造迭代形式：有     　　　　（2.4）则高斯-塞德尔迭代式（2.4）为　　　　　　　　          　　　　　 （2.5）　　    　　称为高斯-塞德尔迭代矩阵。例1用高斯-塞德尔方法解方程组：　　解：方程的迭代格式：　　取初始值有　　时，　　　　 　　时，　　　　　　计算结果如表2.1所示。表2.1计算结果　　　　　　　　　　　　 　　　　01234　　　0　　　　　0　　　　　0　　　－2.5　　　2.1　　　　1

5、.14　　　　　2.5　　　－0.88　　2.004　　　0.9876　　　　1.62　　　－1.0042　1.9984　　1.0006　　　　0.1242　　　－1.0005　2.0002　　1.0000　　　　0.0037例2用高斯--塞德尔迭代法解方程组对该方程组做简单调整，使得用高斯--塞德尔迭代法求解时对任意始向量都收敛，并取初始向量，用该方法求近似解，使。调整后方程为这是主对角线严格对角占优方程组，故用高斯--塞德尔迭代法求解对任意初始向量都收敛。高斯--塞德尔迭代格式为由计算得因为，故所求近似解为，将代入方程组后可知，它实际上就是近似解。　　2.3　　判断高斯塞

6、德尔迭代收敛的方法与判断雅可比迭代收敛类似，一方面从高斯-塞德尔迭代矩阵获取信息，当或的某种范数时，迭代收敛；另一方面，直接根据方程组系数矩阵的特点作出判断。　　定理2.1若方程组系数矩阵A为列或行对角优时，则高斯塞德尔迭代收敛。　　定理2.2若方程组系数矩阵A为对称正定阵，则高斯塞德尔迭代收敛。例3方程组中，。　　证明当时Gauss-Seidel法收敛，而Jacobi迭代法只在时才收敛。　　解：对法，因为是对称矩阵，因此只要证时正定即可，由顺序主子　　得而得于是得到当时故对称正定，法收敛。对Jacobi法，可根据定理2.2，由于迭代矩阵　　即是Jacobi法收敛的充要条件，

7、故Jacobi法只在时才收敛。当时，法收敛，而，Jacobi法不收敛，此时不是正定的。参考文献：[1]数值计算原理.李庆扬、白峰山、关治.清华大学出版社2000年9月第一版.[2]数值分析引论.易大义、陈道琦.浙江大学出版社1998年9月第一版.[3]数值计算的算法与分析.张可村、赵英良.科学出版社2003年1月第一版.[4]数值分析.李庆扬、王能超、易大义.华中科技大学出版1986年12月第三版.[5]数值分析.李庆扬、王能超、易大义.清华大学出版社2001年8月第四版.