多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面曲面的切平面及法线)

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.3.1空间曲线的切线及法平面6.3.2曲面的切平面及法线6.3多元函数微分的应用第6章多元函数微分学6.3多元函数微分的应用6.3.1空间曲线的切线及法平面切线及法平面的概念曲线方程为参数方程的情况习例1-3曲线为一般式的情况习例46.3.2曲面的切平面及法线一般方程的曲面的切平面及法线特殊方程的曲面的切平面及法线求切平面及法线习例5-10小结曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线一、空间曲线的切线与法平面复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因过点M与切线垂直

2、的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程说明:若引进向量函数,则为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例切线方程法平面方程即即解由于对应的切向量为,故解解2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或也可表为法平面方程切线方程解法1令则即切向量曲线方程

3、为一般方程的求切线方程和法平面方程习例法平面方程即解法2方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量解法3二、曲面的切平面与法线切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直.法线是与切平面垂直的直线.解.解注意:切平面上点的竖坐标的增量(1)因为曲面在M0处的切平面方程为3.求切平面及法线习例解所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令解切平面方程法线方程解二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有,因此有解依题意，切平面平行于已知平面，得所求切点为切平面方程①切平面方

4、程②解解依题意知切平面的法向量为又切点满足曲面和平面方程1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量