2014江门调研高三数学(理)

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1、江门市2014年普通高中高三调研测试数学（理科）试题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知集合，，则A．B．C．D．⒉若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数A．B．C．D．或⒊已知平面向量，，若，则实数A．B．C．D．⒋已知点，，则线段的垂直平分线的方程是A．B．C．D．⒌设、，若，则下列不等式中正确的是A．B．C．D．图1⒍如图1，、分别

2、是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是A．B．C．D．⒎已知函数，则该函数是A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减⒏平面直角坐标系中，抛物线与函数图象的交点个数为A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐（填“”或“”）．⒑在中，，，，则．第8页2014届高三数学（理科）试题⒒若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线方程是．⒓若，满足约束条件，则的最大值是．⒔若、是不重合的平面

3、，、、是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是．（写出所有真命题的序号）①若，，则②若，，则③若，，则④若，且，，则(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕直线和抛物线所围成封闭图形的面积．⒖在数列中，，（），试归纳出这个数列的通项．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知，．⑴求的最小正周期；⑵设、，，，求的值．第8页2014届高三数学（理科）试题⒘（本小题满分13分）如图2，直三棱柱中，，，棱，、分别是、的中点．⑴求证：平面；⑵求直线

4、与平面所成角的正弦值．⒙（本小题满分13分）为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出升后用水补满，然后第三次倒出升后用水补满．⑴求第一次稀释后桶中药液的含量；⑵若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，求的取值范围；⑶在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？⒚（本小题满分14分）如图3，椭圆的中心在坐标原点，过右焦点且垂直于椭圆对称轴的弦的长为3．⑴求椭圆的方程；图3⑵直线经过点交椭圆于、两点，，求直线的方程．第8页

5、2014届高三数学（理科）试题⒛（本小题满分14分）已知正项等比数列（），首项，前项和为，且、、成等差数列．⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．21（本小题满分14分）已知函数，曲线经过点，且在点处的切线为：．⑴求常数，的值；⑵求证：曲线和直线只有一个公共点；⑶是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．第8页2014届高三数学（理科）试题数学（理科）评分参考一、选择题BAACDBCD二、填空题⒐＞⒑⒒⒓⒔②③（对1个3分，错1个分）⒕⒖三、解答题⒗解：⑴……2分，……4分，的最小正周

6、期……5分⑵因为，，……6分，所以，……7分，，，……8分，因为，所以，……9分，所以……10分，…11分…12分。（或者在第7分之后：……8分，……9分，因为，，所以……10分，所以……11分，因为，，所以…12分）⒘证明与求解：⑴，底面，……1分，，……2分，因为，，第8页2014届高三数学（理科）试题，所以平面……3分，……4分，因为，所以平面……5分⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……6分，则、、……7分，、……8分，、、……9分，设平面的一个法向为，则……10分

7、，即，取……11分，所以……12分，……13分。（方法二），，……6分，所以，，……7分，由⑴知，，所以平面……8分。延长到，延长到，使，连接、……9分，在中，，，……10分，……11分，是平面的法向量，由所作知，从而，所以……13分。其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。⒙解：⑴第一次稀释后桶中药液为（升）……2分⑵第2次倒出后桶中剩余农药升……3分，依题意……5分，即……6分，第8页2014届高三数学（理科）试题解得……7分，又，所以……8分。⑵不能达到……9分，再次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的

8、比率不超过……10分，因为，所以……12分，答：（略）……13分。⒚解：⑴设椭圆的方程为（）……1分依题意，……2分，……4分解得，……6分，椭圆的方程为……7分⑵（方法一）连接ON，由椭圆的对称性……8分，因为，所以……9分，依题意，……10分，所以……11分，……13分，所以直线的方程为……14分。（方法二）设直