线性规划及其应用

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1、广东北江中学高二数学补充讲义教师版平面区域与线性规划【一】基本内容(一)二元一次不等式表示的区域对于直线(A>0)当B>0时,表示直线上方区域;表示直线的下方区域.当B<0时,表示直线下方区域;表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表

2、示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们研究的就是求线性目标函数z=Ax+By在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简

3、单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5)线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.【二】例题解析题1：选择题1.不等式组表示的平面区

4、域是()线性规划第10页共10页广东北江中学高二数学补充讲义2．已知x、y满足约束条件，则(x+2)2+y2的最小值为DA．B．2C．8D．5D4．不等式组围成的区域中，整数点的个数有（）．AA．6B．7C．8D．95．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）[1,3](B)[2,](C)[2,9](D)[,9]【解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M，显然，只需要研究过、两种情形。且即答案：C线性规划第10页共10页广东北江中学高二数学补充讲义题2

5、.选择填空题1．已知动点所在的区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数的最小值和最大值分别为（　C　）A.2，12　　　　　B.2,4　　　　　　　　　C.1,12　　　D.1,492．已知x、y满足约束条件的最小值为（C）A．7　　　　　B．　　　　C．－5　　　　D．53.若,则的取值范围是.[2,6]4．平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A.-5B.1C.2D.3【答案】：D【解析】如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是

6、一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.5.已知，求：（1）的最小值;（2）的范围．线性规划第10页共10页广东北江中学高二数学补充讲义【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、、．（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是．（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，．故的取值范围为．题3:某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资70万元，房地产投资90万元，电脑投

7、资75万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资90万元，电脑投资150万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利25万元，每份进取型投资每年可获利30万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过290万元，房地产投资不超过450万元，电脑投资不超过600万元，那么这两种组合投资应各注入多少份，能使一年获利总额最大？最大值是多少？题4.已知有三个居民小区A、B、C构成△ABC，AB＝700、BC＝800、AC＝300．现计划在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装

8、隔音窗或建造隔音墙．据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝．每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成