清华机械工程控制基础课件2 routh判据

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1、5.1.2关于稳定性的一些提法1、Ляпунов（李亚普诺夫）意义下的稳定性由上分析可知，对于定常性系统而言，系统由一定初态此起的响应随着时间的推移只有三种：衰减到零；发散到无穷大；趋于等幅谐波振荡。从而定义了系统是稳定的；不稳的；临界稳定的。但对于非线性系统而言，这种响应随着时间的推移不仅可能有上述三种情况，而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由初态不同，这种响应随着时间推移的结果也不同。7/19/2021机械工程俄国学者A.M.Ляпунов在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以表述如下——

2、如图5.1.4所示，若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点心起始偏差（即初态）不超过域，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的某值，即不超出域，则系统称为稳定的，或称为Ляпунов意义下稳定。7/19/2021机械工程7/19/2021机械工程这也就是说，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数，能在初态为式中则系统称为在Ляпунов意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数，但却不能找到不为零的正数来满足式(5.1.6)，则系统称为在Ляпунов意义下不稳定。(5.1.6)7/19/2021机械工程2、渐近稳定性渐近稳

3、定性就是前面对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，也是Ляпунов意义下的稳定性；但对非线系统而言，这两种稳定性是不同的。比较渐近稳定性与Ляпунов意义下的稳定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统若是渐近稳定的则一定是Ляпунов意义下稳定的，反之则不尽然。7/19/2021机械工程3、“小偏差”稳定性“小偏差”稳定性又称“小稳定”或“局部稳定性”。由于实际系统往往存在非线性，因此系统的动力学方程往往是建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时，线性化带来的误差太大，因此，用线性

4、化方程来研究的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏差大时，就不能用来讨论系统的稳定性。7/19/2021机械工程稳定的基本概念和系统稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面系统稳定充要条件7/19/2021机械工程5.2劳斯稳定判据(Routh’sstability

5、criterion)5.2.1劳斯表线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。证明设为实数根，为复数根不会有系数为零的项线性系统稳定必要条件7/19/2021机械工程将各项系数，按下面的格式排成老斯表7/19/2021机械工程这样可求得n+1行系数如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的

6、系统为不稳定。劳斯稳定判据7/19/2021机械工程已知一调速系统的特征方程式为例5-1试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表结论：(1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；(2)且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。7/19/2021机械工程已知某调速系统的特征方程式为例5-2求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：7/19/2021机械工程5.2.2劳斯判据特殊情况劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变

7、化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定是以一个很小的正数来代替为零的这项解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列请看例题7/19/2021机械工程已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例5-3由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表7/19/2021机械工程劳斯表中出现全零行用系数全为零行的