有限元方法基本思路

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1、计算流体力学有限元及其编程●北京化工大学Section1.有限元方法基本思路:Part1●目录（1/8）有限元方法基本思路1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解1.1.1方程及精确解1.1.2有限元方法求解1.2一维二次常微分方程的有限元数值求解1.2.1方程及精确解1.2.2有限元方法求解（1/8）有限元方法基本思路1.1.1方程及精确解求解微分方程：，0≤x≤1（1.1）微分方程的边界条件主要分为两类：（1）第一类边界条件，又称为本质边界条件，即已知边界处场量的数值，如式（1.2）所示；边界条件：x=0

2、时，u=0（1.2）●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）有限元方法基本思路1.1.1方程及精确解（2）第二类边界条件，又称自然边界条件，即已知边界处场量导数的数值，如x=0时,。带有第二类边界条件微分方程的求解，将在本章第二节中介绍。式（1.1）和（1.2）构成的微分方程的精确解为：du/dx-1=0,0≤x≤1x=0时，u=0u=x（1.3）稍后会对比有限元方法计算得到的数值解与该精确解的差别。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1

3、）计算区域的离散①单元类型的选择在进行有限元计算之前，需要将计算区域进行离散化，也就是通常所说的网格划分。du/dx-1=0研究的是一维问题，使用一维线性单元对计算区域进行等距离散。离散结果如图1-1所示。图中n为结点序号，e为单元序号，共有N个结点、E个单元，且N=E+1。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解图1-1一维线性单元离散结果（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散②结点序号结点序号共分为两类，单元内部结点序号和总结点序号。●单元内部结点序号就是各个结点在单元

4、内部的序号，与离散时所选单元类型及插值函数构造有关；●总体结点序号是结点在整个离散区域内统一排列的结点序号。同一个结点可能属于多个单元，该结点在不同的单元内总结点序号是唯一的，而内部结点序号可能是不同的。1——2——3——4——51——2/1——2/1——2/1——2●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解总体序号（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散③离散数据的存储选择单元类型后，便可以建立离散数据，供有限元计算使用。离散结果通常包括以下数据：●单元信息数据JM●结点坐标

5、数据JX●第一类边界条件数据JB1●第二类边界条件数据JB2●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散③离散数据的存储●单元信息数据JM存储单元所包含的结点序号。其行数等于总单元数，列数与单元内结点个数一致。例如，第i行存储内容为第i个单元所包含的所有结点序号；以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-1JM数据表1223344556（1/8）有限元方法基本思路1

6、.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散③离散数据的存储●结点坐标数据JX存储结点的坐标。其行数等于总结点数，列数与所研究问题的维数一致。例如，其第i行存储内容为第i个结点的坐标数据；以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-2JX数据表00.20.40.60.81（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散③离散数据的存储●第一类边界条件数据JB1存储第一类边界条件的相关数据。其行数等于处于第一类边界条

7、件的总点数，列数与边界条件的分类及所研究问题维数有关。例如：第一列为处于第一类边界上的结点序号，第二列为处于第一类边界上的结点对应的边界值。以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-3JB1数据表10（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散③离散数据的存储●第二类边界条件数据JB2存储第二类边界条件的相关数据。其行数等于处于第二类边界条件的总单元边数，列数与所研究问题维数及离散单元类型密切相关。应包括边

8、界单元序号，单元内边界边序号，边界变法向余弦（二维、三维问题）及边界上个结点的边界值。本节不涉及该类边界条件，相关内容见第1.2节。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函数和权函数网格离散完成后，单元的差值函数也就随之确定。对于一维线性单元，插值函数包括Φ1和Φ2具体表达式为：Φ1=1-ξΦ2=ξ(1.4)式中ξ为局部坐标，取值范围