6-2估计量的评价标准46548

《6-2估计量的评价标准46548》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、概率论与数理统计二、无偏估计第二节估计量的评价标准三、最小方差无偏估计四、有效估计五、相合估计(一致估计)一、问题的提出一、问题的提出究竟采用哪一个估计量更好呢？这就个数字特征出发，引入无偏估计，最小方对于总体分布中的同一个未知参数,若采用不同的估计方法，可能得到不同的估计量。产生了如何评价与比较估计量的好坏的问题，我们从估计量的数学期望及方差这两差无偏估计，有效估计和相合估计等概念。二、无偏性设是参数的一个估计量，如果，满足关系式如果的一列估计则称是的渐近无偏估计量.估计量如果不是无偏估计量,就称这个估计量是有偏的，称为估计量的偏差.则称是的无偏

2、估计(量).,,估计，修正样本方差是无偏估计.例1设总体的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记，，则样本均值是的无偏估计，样本方差是的渐近无偏证所以，和均为无偏估计量，而故是的渐近无偏估计.例2设总体服从区间上的均匀分布,是总体的一个样本.试证：参数是矩估计量,是的无偏的渐近无偏估计.证故的矩估计是无偏估计量.估计;的最大似然估计是所以但是,即是的渐近无偏估计量.但只要修正为那么也是的无偏估计量.1°一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.都是无偏估计量.2°有时一个参数的无偏估计可能不存在.例如，设总体则

3、

4、就没有无偏估计.其中.注3°有时无偏估计可

5、能明显不合理.例如，设是来自泊松总体的一个样本，可以证明是的无偏估计.但这个无偏估计明显不合理.当取奇数值时，估计值为负数.用一个负数估计，明显不合理.三、最小方差无偏估计定义6.3如果存在一个无偏估计量,使对的任意无偏估计量,都有则称是的最小方差无偏估计(量).缩写为MVUE.例3设总体服从区间上的均匀分布,的一个样本矩.是总体估计和修正的最大似然估计的无偏估计，和哪个更有效？均为解显然当时即比有效.最小方差无偏估计是一种最优估计.对于最小方差无偏估计，一个自然的问题是：无偏估计的方差是否可以任意小？那么它的下界是什么？罗-克拉美(Rao-Cra

6、mer)不等式回答了这个问题.如果不可以任意小,定理6.1(Rao-Cramer不等式)设是实数轴上的一个开区间,总体的分布密度为,,是来自总体的一个样本,是参数的一个无偏估计量,且满足条件:(2)存在且对中一切有:(1)集合与无关;其中;(3),则对一切,有上式的右端项称为罗-克拉美下界，称为Fisher信息量.可证明的另一表达式为对离散总体情形，设总体的分布律为且满足于类似上述定理的条件，则罗-克拉美不等式成立的条件的估计称为正规估计.若为正规估计且达到罗-克拉美下界，即则必为的最小方差无偏估计.设是来自泊松分布的一个样本，试证是的最小方差无偏

7、估计.证的分布律为例4因此故有即的方差达到了罗-克拉美下界,所以是的最小方差无偏估计.设总体的分布密度为的样本，为未知参数，为总体是的最小方差无偏估计.证明证例5故而所以即的方差达到罗-克拉美下界，所以是的最小方差无偏估计.定义6.4设是的任一无偏估计量，称为估计量的效率.显然的任一无偏估计量的效率满足四、有效估计如果的无偏估计量的效率则称为的有效估计(量).则称为的渐近有效估计(量).如果如果为的有效估计，则它是最小方差无偏估计，但反之则不一定成立.定义6.5设是来自正态总体的一个样本，证明是的有效估计量；是的渐近有效估计量.证总体的分布密度为

8、:例6所以而故有即是的有效估计.由于则又由于，由分布性质得故,所以是的渐近有效估计量.注不是的有效估计，但可以证明,是的最小方差无偏估计.设总体,是来自总体的一个样本，证明是的有效估计量.证总体的分布律为：例7所以又所以即　　　　是的有效估计.备用题五、相合估计例8来自总体X的样本,问:下列三个对的无偏估计量哪一个最有效?解注一般地，在的无偏估计量可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明定义6.6设是未知参数的估计序列，如果依概率收敛于，即对任意,有：或则称是的相合估计(或一致估计).五、相合估计(一致估计)且,则是的相合估计(或一致估计).证明由于定

9、理6.2设是的一个估计量,若令,由定理的假设得即是的相合估计．均值的相合估计.若总体的和都存在,则是总体证因为故是总体均值的相合估计.一般样本的阶原点矩是总体阶原点矩的相合估计.矩估计往往是相合估计.例9估计量的评选的四个标准，但要求一下三个标准无偏性有效性相合性相合性是对估计量的一个基本要求,不具备由最大似然估计法得到的估计量,在一定条相合性的估计量是不予以考虑的.有效性这两个标准.件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和内容小结再见设总体的方差存在,且为来自

10、总体的样本,试选择适当的常数,使得为D(X)的无偏估计.备用题例2-1解而相互独立,且与X同分布依题意，设及为的两个独立的