§2.3 初等解析函数

《§2.3 初等解析函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、§2.3初等函数将一元实变初等函数推广为初等复变函数的要求：①当为实数时，有完全与原实变函数相同。②尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)一、指数函数初等实指数函数的一些重要性质：①处处可导且有②对任意的实数有③对任意的实数有现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新的指数函数应满足①处处可导且有②当即为实数时有定义1对于复数称为复指数函数。性质指数函数在整个平面上都有定义，且处处解析，导函数为对任意的复数有当即为实数时有是以为周期的周期函数，即有比较但一般不成立。

2、例1求和解二、对数函数定义2指数函数的反函数，称为对数函数，记为的所有解。注1这里实际上是关于的方程注2对数函数的定义域设则有于是有从而对数函数的主值与主值分支对数函数注意：①对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两个函数值之间相差②对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为的一个单值分支；特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为③负数也有对数，如例2求下列各式的值。解(1)(1)(2)(2)例3解下列方程解(1)(2)对数函数的性质①②③时，当这时对数函数的主值就是原实变数对数函数注意，这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端某一分支。

3、若仅对某一分支结论是不一定成立的。例如类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实④在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他分支处处连续、处处解析;且有仅就主值支而言，在除去原点外的复平面内处处连续，说明：而在原点及负实轴上不连续。所以，函数在除去原点及负实轴的复平面上处处连续。又因为在区域内的反函数是单值的，由反函数的求导法则可知所以，函数在除去原点及负实轴的平面内解析。轴的平面内也是解析的，并且有相同的导数值。例4验证下列式子并不成立。证明可见，的值是的值的值每隔一个取一个，故任取一个分支所给的值，不一定有对应的值与之相等。由Euler公式，对

4、任何实数x，我们有：所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：三、三角函数与双曲函数则对任何复数z，Euler公式仍成立：正弦与余弦函数的基本性质1、cosz和sinz是单值函数；2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:三角函数的基本性质3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:三角函数的基本性质注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如z=2i时，有三角函数的基本性质6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：证明：三角函数的基本性质7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在

5、复平面的零点是，sinz在复平面的零点是8、同理可以定义其他三角函数：三角函数的基本性质:9、反正切函数：由函数所定义的函数w称为z的反正切函数，记作由于令，得到三角函数的基本性质:从而所以反正切函数是多值解析函数，它的支点是无穷远点不是它的支点。但复指数函数是不成立的，没有意义。2.三角函数由Eeler公式有定义为复数z的正弦函数和余弦函数。满足：2）在复平面内处处解析，且3）为奇函数，为偶函数，并有4）得令得即但事实上。当时，都趋于无穷大。定义其它三角函数：分别称为复数z的正切、余切、正割和余割函数。3.双曲函数分别称为复变数z的双曲正弦与双曲

6、余弦函数。满足：和在复平面内解析，且为奇函数，为偶函数。与以为周期的周期函数。以上等式自己验证，不要求记。例1求的值。解法一：解法二：例2解方程解：得由于代入得当时，当时，5乘幂与幂函数设a为不为零的复数，b为任一复数，定义多值，而为的主值。1）当b为整数时，由于这时只有与主值相同的值。2）当互质时，由于当时，有m个不同的值。除此之外，具有无穷多个值。例6求的值及其主值。解：其中当时，得主值为取a=z,b=n得为幂函数。是复平面内单值解析函数。取为的反函数。幂函数为多值函数。具有n个分支，每个分支除去原点及负实轴处的复平面内解析，且例7讨论指数函数

7、与e的z次方的区别一般k=0时，指数函数与幂函数相等。所以指数函数没有幂的意思。6反三角函数与反双曲函数（略）。