§2.3初等函数2011-9-6

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1、§2.3初等函数教学目的：掌握复变量初等函数的概念与性质；熟练掌握几类常用初等单值解析函数的运算与性质，并了解几类典型的初等多值解析函数．能正确灵活地计算复数式的值、解复方程．重点：正确进行初等函数的相关运算．难点：对数函数与幂函数的概念理解与相关计算．教学过程：初等复变函数是一种最简单、最基本也是最常用的函数，其在复变函数论及其应用中有着重要意义和应用.初等函数推广到复数时展示了许多特有性质.如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性，特别是多值函数的本质在此得到了完满阐述与充分揭示.§2.3.1指数函数1.指数函数定义【定义2.5】对于复数,称为复

2、指数函数,记为或.定义域全体复数.2.复指数函数的一些常用性质（1）当(此时虚部)时,,表明复指数函数是实指数函数在复数域上的推广.当(此时实部)时,----------欧拉公式从而,(，…)；19显然在z平面上,即复指数函数在z平面上无零点.(2)在z平面上解析（单值函数）,且.(3)加法法则成立,即对任意两个复数,总有.证：事实上,设,则从而由复指数函数的定义：＝.故加法法则成立.可以证明减法法则对复指数函数也成立.提示：.(4)是以为周期的周期函数（）.说明：由定义知（）,进而.从而().19(5)不存在(即无意义),且是无界函数.因为：当z沿着实轴趋于时,，即,而当z沿

3、着实轴趋于时,，即,故不存在.例1求，的值.解由复指数的定义：；；；；.19或.例2利用复数的指数表示计算.解.§2.3.2对数函数1．幅角函数※初等多值函数的多值性显然都应归结为幅角函数的多值性.2.【定义2.6】设复数,把满足的复数称为复数的对数函数,记.显然，对数函数是指数函数的反函数.令,由得，即,.于是,（）------------------对数函数的一般表示也是一个无穷多值函数(由的多值性引起).,（k为一切整数）------------对数函数的分支表示19其中,对每个固定的整数k,称为对数函数的第k分支函数.当k=0时,为对数函数的主值(支),记为,其中.可见

4、,对数函数一般是由无穷多个分支函数构成,并且任何不为零的复数有无穷多个对数,其中任意两个相差的整数倍.如果是正实数,则主值恰好就是通常的实对数.3.对数函数的性质：1）对数函数的运算法则：设是不为零的复数,则注意：上面两个法则虽然形式上与实对数法则类似,但在理解时应按照集合相等来理解.2）等式（其中为大于1的正整数）不再成立.(对于给定的值而言)3）解析性：在除原点和负实轴外的复平面上解析.【的各个分支在除原点和负实轴外的复平面上也处处解析】且.（主值支是单值函数）19例3计算（1）解：,（2）解,.（3）设,则,；（4）设,则,k为一切整数.特别,,,k为一切整数.例4求，.

5、解（1）因为,;所以,(,,,)（2）.§2.3.3幂函数（简讲）【定义2.7】函数（为复常数,为任意不为零的复数）定义,并称它为复变量的幂函数.规定：当为正实数且时，.由于的多值性，一般为多值函数（当19整数时是单值函数）.结论：的相应的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上解析.（为整数时与相应实函数可导一致）在各分支上有.显然此定义在形式上是实数域中等式(,为实数)在复数域中的推广.由于,为一切整数,其中为主值,,则,为一切整数--------一般幂函数的分支表示可见,对于不为零的复数,的取值个数主要因式子的取值个数确定.下面,我们分三种情形来讨论一般幂函数1）当为整数时,

6、由于,且所以是单值函数,而且就是通常的指数为整数的幂函数.（1）当为正整数时,19是一个单值函数.函数在复平面上处处解析.（2）当为负整数时,仍是一个单值函数.函数在复平面上除外处处解析.（3）时，=0（）2）当为有理数（与互质，且即成既约分数）即时,（为整数）.由于与互质，当取0，1，2，时，有个不同的值.所以是值函数，即函数有个不同的分支.特别地，当（n为正整数）时,是一个值函数（它就是前面介绍的根式函数）.显然,当时,恰好也是幂函数与根式函数复合而成的函数.193）当为无理数或虚数（）时,由于有无穷多个取值,因此,此时是一个无穷多值的多值函数.例5求；，，.解（1）,，k

7、为一切整数.（2）,.它的主值为.（3）.（4）.练习：试求,的值.解，19().§2.3.4三角函数1．正弦、余弦函数：由欧拉公式得,两式相加或相减得,.将上式中的实数x换成复数z,利用复指数可得如下定义.【定义2.8】对任意复数,规定,分别称为复数z的正弦函数和余弦函数.2．正、余弦复变函数的性质(1)当(实数)时,,即此时复正、余弦就是通常的实、余弦,这表明复正、余弦函数是实正、余弦函数在复数域上的推广.(2),都在z平面上（单值函数）解析,且,.证明：由解析函数的四则运算性,复合运算