直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

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1、直线关于直线对称问题的常用方法与技巧　　对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1.在所求曲线上选一点；2.求出这点关于中心或轴的对称点与之间的关系；3.利用求出曲线。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线关于直线对称的直线的方程。解法1：（动点转移法）在上任取点，设点P关于的对称点为，则又点P在上运动，所以，所以。即。所以直线的方程是。解法2：（到角公式法）解方程组所以直线的交点为A(1,0)设所求直线的方程为，即,由题意知，到与到的角相

2、等，则.所以直线的方程是。解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)。在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为，则而点A，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法4：（两点对称法）3对解法3，在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为Q，在上取点M（0，1），设点P关于的对称点的坐标为而N，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法5：（角平分线法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)，设所求直线的方程为：设所求直线的方程为,即.由题意知，为的角平分线，在上取点P（0，-3），则点P到的距离相等，由点到直线距离

3、公式，有：时为直线，故。所以直线的方程是解法6（公式法）给出一个重要定理：曲线（或直线）关于直线的对称曲线（或直线）的方程为。   证：设是曲线上的任意一点，它关于的对称点为，则于是。∵M与M/关于直线l对称，∴,（3）代入（2），得，此即为曲线的方程。 解析：定理知，直线关于直线的对称曲线的方程为：所以直线的方程是3点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个

4、方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得，即

5、11+c

6、=27，得

7、c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）.由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，

8、再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-

9、y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.3