关于高中函数概念的教学研究

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1、关于高中函数概念的教学研究陈烜福建省沙县第一中学365500摘要：函数描述了自然界中变量的依赖关系，是对事物木身的数量特征和制约关系的一种刻划。定义域、对应法则和值域是构成函数的一个要素，是理解函数问题的前提条件。木文从这个角度出发对函数概念教学进行了研究。关键词：高中函数概念!/•■、—、刖目函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。在中学教学中，函数的教学大致可分为两个阶段，第一阶段在初中，学生初步掌握了函数的传统定义以及函数的表示法，并讨论了一些常见函数，对函数有了一定的感性认识:第二阶段在高中，学生学习了集合、映射等有

2、关概念之后，运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义，让学生掌握函数的实质，实现从感性认识到理性认识的飞跃。函数概念与中学课程的其他内容（如:三角函数、数列、不等式、方程等）有着非常密切的联系。学好函数的有关概念，是学好上述内容的基础，也是进一步研究函数性质及应用的基础。二、函数概念的教学思想构想在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。

3、怎样教学函数概念呢?在“新数学”中，有过一个大胆的尝试，即企图按照集合与笛卡尔积去建立函数概念的形式定义:设A与B为两个集合，并记A*B为A、B的笛卡尔积，则称A*B的一个子集f为一个函数。如果当（XI，Yl）,（X2,丫2）是f的元素，且X1=X2时，就有Y1=Y2,然而，许多来自经验的事实表明，虽然这一定义是数学上一项优秀的基础，但它不可能是好的认知根源。在此新构造中，必须使用新的集合论的定义去取代早期的与过程有关的定义，这一重新构造对于学生来说显得极其困难。西厄平斯卡(Sierpinska)断言:在向年轻学生介绍函数时，使用

4、久经揣摩而得的现代定义，这是教学法上的一个错误，是一个反教学法的颠倒。在函数概念学之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研宄变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念,函数三要素(定义域、值域、对应法则)的确定，符号“f”(对应法则)表示的意义，学生最难理解，因为“f”具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象,即使“f”所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的、为符号“f”建立起具体内容的经验基础。这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的吋期，思维水平基本上还停留在形式逻辑

5、思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学的事物;另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中。形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学的认识障碍。函数的构成应当从映射入手。在一般关系的范围中，它是一个不确定的难以理解的运算。最重要的是函数关系的定义无论从内容还是从一记号上来讲，都没有运算价值。不少教学法专家认为，关系概念比函数概念更基础、更一般,主张教师在教学中用关系来定义函数。关系缺乏应用的原因是它具有类似于一览表那样的记录特征。

6、科学的内容不是描述性的记录，而是联系。这种联系不是用关系，而是要用相互关联的程度来描述。引入函数概念可以不考虑关系。在学生接触了许多函数，己经能作出函数以后，再让他们去归结什么是函数，这才是数学活动的范例。三、高中函数概念教学的实例运用关于函数与函数值函数的统一记号是f(x)或y=f(x)或f(x,y)=O,学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A,这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x,y)=O∈A也是错的。我们所指的函数是f,记号f&isi

7、n;A才是正确的。函数f是指将f(x)指派给x,比如lg是将Igx指派给X。例：f(x)=2x+l,求f(x-l),f[f(x)]，并说明f(x)与f(x-l)是否为同一函数。解:f(x-l)=2(x-l)+l=2x-lf[f(x)]=2f(x)+l=2(2x+1)+1=4x+3显然fW与不是同一函数，这里虽然定义域，值域都相MJ,但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。注:一般地说y=f(x-l)是指“y作为x的函数”。函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计吋，注意到遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从

8、具体到抽象。首先创造情境，从实例引入概念。然后通过几个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念。最后通过多种形式的训练，巩固函数的概念，从学生的学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念形成的过程，即从具体