确界原理的证明

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1、§2数集.确界原理(一)教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二)教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合的上确界为．即：有，且使得．(三)教学建议：(1)此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习

2、题．(2)此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．一区间与邻域:区间邻域设与是两个实数，且，称点集为点的邻域，记作称点集为点的去心邻域记作的右邻域的右空心邻域的左邻域的左空心邻域邻域邻域邻域二有界数集.确界原理:1.有界数集:定义(上、下有界,有界)设S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（L）,使得对一切都有，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.无界数集:若对任意，存在，则称

3、S为无界集。例如，，有理数集等都是无界数集,例1证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。MM+1确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作；MM2M1上确界上界同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作。m2mm1下确界下界精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切有，即是数集S的上界；（2）对任意，存在使得（即是S的最小上界），则称数为数集S的上确界。记作S定义3

4、设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（3）对一切有，即是数集S的下界；（4）对任意，存在使得（即是S的最大下界），S则称数为数集S的下确界。记作例2（1）则（2）则注1由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且注2由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。例3设数集S有上确界，证明证明（略）定理1.1(确界原理).设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证明不妨设S包含非负数，S有上界存在自然数，使得1）；2）存在在内作10等分，分点分别为：

5、存在自然数使得1）2）存在…………1）2）存在按上述办法无限作下去，得到实数，可以验证。例4设和是非空数集.若对和都有则有证和都有是的上界,而是的最小上界此式又是的下界,（B的最大下界）例5和为非空数集,试证明:证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.