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《数集 确界原理(经典课件)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§２数集确界原理教学内容：1．实数集的有关概念；2．确界的概念和确界原理。教学目的：1．使学生知道区间与邻域的表示方法；2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。引言：为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。一、区间与邻域：１．区间（用来表示变量的变
2、化范围）：设且。注：读作正无穷大；读作负无穷大。２．邻域：联想字面意思：“邻近的区域”。设为任一给定实数，（Delta----德耳塔）为一给定正实数。(1)点a的邻域：(2)点a的空心邻域：(3)点a的右邻域和点a的空心右邻域：(4)点a的左邻域和点a的空心左邻域：注：以后在没有必要指出邻域半径的大小时，以上领域我们可以分别简记为：(5)邻域，邻域，邻域：（其中Ｍ为充分大的正数）二、有界集与无界集：什么是“界”？――范围。定义１（上、下界）：设为中的一个数集。若存在数，使得对一切都有，则称Ｓ为有上（下）界的数集，数称为Ｓ的上界（下界）。若数集Ｓ既有上界，又有下
3、界，则称Ｓ为有界集。若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。[问题]：（１）上（下）界若存在，唯一吗？（２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1讨论数集的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。解：任取，显然有，所以有下界１；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。这里[]表示不超过的最大整数，如：[可以看到]：（1）若数集有（上、下）界，则它不唯一，且有无限多个；（2）同一数集的上界必大于等于其下界。三、确界与确界原理:１、
4、定义：(最小的上界和最大的下界)定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：(1)对一切有（即是Ｓ的上界）;(2)对任何，存在，使得（即是Ｓ的上界中最小的一个），则称数为数集Ｓ的上确界，记作 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：（１）对一切有（即是Ｓ的下界）；（２）对任何，存在，使得（即是Ｓ的下界中最大的一个），则称数为数集Ｓ的下确界，记作.上确界与下确界统称为确界。例2讨论数集的确界。分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。解先证（ⅰ）对一切，显然有，即1是的上界。(ⅱ)对任何，若，则任取都
5、有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数，即存在，使得。类似可以验证例3（１） （２） （３）２、确界的性质：l唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；l若数集Ｓ存在上、下确界，则有；l数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；l存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界。定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界。证这里只证明定理的前半部分，后半部分可类似的证之。为叙述方便起见，不妨设Ｓ含有非负数，由于Ｓ有上界，故可以找到非负整
6、数，使得：(1)对任何，有；(2)存在，使.对区间作10等分,分点为：，则存在中的一个数，使得：(1)对任何，有；(2)存在，使.对区间作10等分,分点为：，则存在中的一个数使得：（1）对任何，有；（2）存在，使.如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何存在中的一个数，使得：（1）对任何，有；（2）存在，使.将以上步骤无限进行下去，得到实数，以下证明，即证：（ⅰ）对一切，有；（ⅱ）对任何,存在使得.先证(ⅰ):(反证)假设存在,使,则可找到非负整数,使,而且,故与(1)矛盾,故对一切，有.再证(ⅱ):由知存在非负整数,使,而,,故,由(2)便知存在使确界原
7、理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视。例4 设数集Ｓ有上界，证明：分析：由确界原理，意义，按确界定义证明。证：（必要性）∵∴对一切有，又，故。（充分性）设，则：对一切，有；对任何，只需取，则，故。例5设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切和有.证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且分析：首先，证明有意义，用确界原理。其次，证明证：由假设，数集Ｂ中任一数都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.对任何,是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,是数集Ａ的最小上界,故有.
8、而此式又表明是数集Ｂ的一个下界,故由下
