§12数集和确界原理

《§12数集和确界原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、《数学分析》上册教案第一章实数集与函数滨州学院数学与信息科学系§1.2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后

2、又让大家自学了第一章§1.1实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2).2、证明：.3、设，证明：若对任何正数有，则.4、设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快

3、掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设且。，其中10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数滨州学院数学与信息科学系2、邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a的邻域：设，满足不等式的全体

4、实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即.（2）点a的空心邻域.（3）a的右邻域和点a的空心右邻域（4）点a的左邻域和点a的空心左邻域（5）邻域，邻域，邻域（其中M为充分大的正数）；二有界集与无界集什么是“界”？1.定义1（上、下界）：设为中的一个数集。若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集。数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集。闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集。等都是无界数集,10《数学分析》上册教案第一章实数集与

5、函数滨州学院数学与信息科学系集合也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集。[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？

6、对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个)。三确界与确界原理1、定义定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对一切有（即是S的上界）;(2)对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作命题1充要条件1）是上界，2）使得。证明：必要性，用反证法。设2）不成立，则使得，均有，与是上确界矛盾。充分性，用反证法。设不是的上确界，即是上界，但。令，由2），，使得，与是的上界矛盾。定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是

7、S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.命题2的充要条件：10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数滨州学院数学与信息科学系1）是S下界；2）＞0，＜上确界与下确界统称为确界。例3（1）则（2）则注非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的。证明：设，且，则不妨设有对，使，矛盾。例： ， ，则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界例4设和是非空数集，且有则有.例5设和是非空数集.若对和都有则有证明：是的上界,是的下界,例6和为非空数集,试证明:证明：有或

8、由和分别是和的下界,有或10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数滨州学院数学与信息科学系即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设为数集.（1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.（