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1、空间向量在立体几何中的应用空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.【考点及要求】1.理解直线的方向向量与平面法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问
2、题中的应用.一、知识梳理1、空间向量的有关概念特别要理解自由向量、共线向量、单位向量、向量的夹角等概念，注意零向量的特殊性。2、空间向量的运算（1）形的运算加法---------平行四边形法则、三角形法则（）。减法---------三角形法则()。数乘--------的方向与模、三点共线、向量共线。数量积--------向量的夹角、投影的概念、运算性质（垂直的条件、模长公式、夹角公式）。（2）数的运算-------坐标运算。3、两个重要的定理（1）向量共面定理已知、不共线，则①、、共面的充要条件是存在唯一实数组x,y，使=x+y。②设，则四点P,M,A,B共面的充要条件是存在唯一实数组x,y
3、,使。③对空间任意一点O，四点P,M,A,B（M,A,B三点不共线）共面的充要条件是存在唯一实数组x,y,z使,且x+y+z=1.（2）空间向量基本定理设,,不共面，则对空间任一向量，存在唯一实数组x,y,z，使=x+y+z.①三个向量只要不共面，就可以作基底，表示出空间中的任意向量。21①培养转化与化归（统一）的思想意识，善于在立体图形中选择一组基底来表示其它向量。②空间向量基本定理的运用过程在于选择一条路径（封闭的空间多边形），综合运用向量的加、减、数乘运算，实现从未知到已知的转化。③空间向量基底的选择应具备“模可知，两两夹角可知”的资格，才能为应用向量解决问题提供基础。④空间向量基本定
4、理是建立空间直角坐标系的理论基础。1、空间直角坐标系①善于在立体图形中建立右手系。②准确熟练的确定相关点的坐标，从而确定向量的坐标。③熟练的进行向量的坐标运算（加法、减法、数乘向量、数量积、平行与垂直的条件、模长公式、夹角公式、两点间距离公式）。2、用向量刻画空间直线和平面（1）用方向向量刻画直线：在直线上取一个非零向量即为该直线的方向向量。（2）用法向量刻画平面：垂直于平面的直线的方向向量即为该平面的法向量。通常用待定法求出平面的一个法向量。①在形的运算背景下，若，，为选定的基向量，则可设=x+y+z为平面的一个法向量。②在坐标运算背景下，可设=（x，y，z）为平面的一个法向量。③对①及②
5、，由垂直于平面内的两个不共线向量1，2，得·1=0，·2=0，建立含有x，y，z的方程组，不防取定一个值，求出另两个值，就得到了一个法向量。一、方法概括用向量解决立体几何问题主要集中在四个方面：平行、垂直、夹角、距离。其实质是传统逻辑推理（几何法）转化为算法化（代数法），所以必须深刻理解向量解决立体几何问题的理论基础，并掌握向量解题的程序；通过练习，提高运算能力，才能驾轻就熟。以下用，分别表示直线a,b的方向向量，用，分别表示平面，的法向量。1、平行：（1）线线平行：a∥b∥=（2）线面平行：a∥⊥·=0（3）面面平行：∥∥=2、垂直：（1）线线垂直：a⊥b⊥·=0（2）线面垂直：a⊥∥=2
6、1（1）面面垂直：⊥⊥·=01、夹角：（3）面面角:观察二面角为锐角还是钝角，从而决定=<,>还是=<,>2、距离：（1）点线距：已知直线a和a外一点P，A是直线a上一点，则点P到直线a的距离是（2）点面距：已知平面和外一点P，A是内一点，则点P到平面的距离是（3）线线距、线面距、面面距可以转化为（1）或（2）。一、实际应用1、培养用向量解决立体几何问题的意识，理科的立体几何这道解答题的模式多年未变，要让同学们树立用空间向量的方法解决问题的意识，特别是建系的意识，并在今后的练习（考试）中实践。2、思考方向：（1）传统的作图、证明和计算；(2)不宜建立坐标系的时候，选择基向量，利用空间向量基本
7、定理解题；(3)建立坐标系，通过坐标运算解题。3、注意几何法和代数法的综合使用。用向量解题，重视的是算法，不必在图形上下功夫，强调了结果，但运算过程可能繁琐，也易出错。有时在平行、垂直的证明上不如用几何法更简洁，所以，要注意随机应变，可以多种方法混用。【考点归纳分析】考点1.利用空间向量证明空间垂直问题21利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行
