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1、关于似星树拟拉普拉斯谱的性质探讨程霄（新疆农业大学数理学院，新疆乌鲁木齐830052）图谱理论是代数图论的重要研究领域.其中，图的拟拉普拉斯谱问题在微分方程问题，矩阵理论，量子化学、生物学以及复杂网络问题中有重要的应用，是目前研究的活跃问题.本文讨论的图，均为简单无向图（不包括环和平行边），未定义的概念在文[1]中都可以找到.设G=（V，E）是n阶图，其顶点集为V，点集为E.分别记D(G)=diag(du:u∈V)和A(G)=(auv)表示图的度矩阵和邻接矩阵.其中，du是顶点的度；当uv相邻时，auv=1；否则，auv=0；邻接矩阵的特征值记为λ1≥λ2≥…≥λn.图G的Laplacian矩
2、阵定义为L(G)=D(G)-A(G)，其特征多项式为LG(x).由于L(G)是一个实对称半正定的奇异矩阵，故设其特征值为：?滋1≥?滋2≥…≥?滋n=0.图的拟拉普拉斯（signlessLaplacian）矩阵Q(G)=D(G)+A(G)，其特征多项式为QG(x).由于A(G)是一个实对称的、半正定的非负矩阵，则设其特征值为q1≥q2≥…≥qn≥0.图G的邻接矩阵特征值、Laplacian矩阵特征值和拟拉普拉斯矩阵特征值都是图的不变量.由于后两个矩阵都加入了顶点的度，所以其特征值更能反映图的性质.关于图的谱半径问题以及谱确定问题，一直以来都是前沿热点问题.似星树（starliketree）是一
3、类特殊的树图，即只有一个顶点的度数大于2的树.关于其邻接谱半径问题以及Laplacian谱确定问题研究，已经取得了大量的研究成果[3-5].不过关于其拟拉普拉斯谱的性质的研究较少.本文在已有的研究基础上，通过矩阵理论、图论的相关知识，结合图操作等方法，进一步对似星树的拟拉普拉斯特征值，谱半径，谱宽度等问题进行探讨，得到了一些结论.1基本理论引理1[6]设n×n矩阵M和H，则下面的关系是等价的：（1）M和H具有相同的谱；（2）M和H具有相同的特征多项式；（3）tr(Mi)=tr(Hi)(i=1,2,…,n).引理2[7]偶图的拟拉普拉斯矩阵和Laplacian矩阵具有相同的特征多项式，即QG(x
4、)=LG(x)很多文献提到过此定理，但没给出详细证明，其过程如下.证明设G是偶图，两部集的阶数为n1,n2.结合分块矩阵的理论，顶点按一定的顺序标号，G的邻接矩阵A可写成的形式，其中B为n1×n2阶矩阵.可以将图G的度对角矩阵对应的记为，则其对应的特征多项式为：接下来，对LG(x)的前n1行和n1列分别都乘以-1，那正好得到QG(x)，由此得证.为了证明似星树的拟拉普拉斯谱的性质，需要引入矩阵理论中的交错原则.考虑两个实数序列：?琢1≥?琢2≥…≥?琢n，?茁1≥?茁2≥…≥?茁m(m<n)如果?琢i≥?茁i≥?琢n-m+i(i=1,2,…,m)，则称第二个序列交错于第一个序列.引理3[
5、2]设S是一个n×m的实矩阵，满足STS=I.同时，设A是一个n阶实对称矩阵，且特征值为?琢1≥?琢2≥…≥?琢n.定义B=STAS，其特征值为：?茁1≥?茁2≥…≥?茁m，那么B的特征值序列交错于A的特征值序列.在上述定理中，若令S=[I0]T，那么B就是A的一个主子阵，则有：引理4[2]设B是对称矩阵A的主子阵，则B的特征值序列交错于A的特征值序列.利用此引理，就能得到图谱理论中相应的交错定理.引理5[8]（边交错定理）设图G有n个顶点，m条边.且e∈E(G)，并设G的拟拉普拉斯特征值和G-e的拟拉普拉斯特征值分别为：q1≥q2≥…≥qn，s1≥s2≥…≥sn，那么：0≤sn≤qn≤…≤s
6、2≤q2≤s1≤q1文献[9]中，利用此引理，同时结合矩阵理论中的].SpringerVerlag,2011.〔3〕姚瑶,徐美进,杨文杰，等.最大度为4的似星树的谱半径[J].辽宁工业大学学报（自然科学版）,2014,34(01):67-70.〔4〕沈小玲.关于图的谱确定问题[D].长沙：湖南师范大学,2005.〔5〕姚瑶.一类似星树的谱半径问题研究[D].锦州：辽宁工业大学,2014.〔6〕VANDRE,HAEMERSHath(Beograd),2007,81(95):11–27.〔9〕J.F.Lepovic,I.gutman.SomeSpectralPropertiesofStralike
7、trees[J].Bull.Acad.SerbeSci.Arts,Cl.Sci.Math.Natur.,Sci.Math,2001,137(33):99-105.〔12〕M.Lepovic.SomeresultsonStarliketreesandSunlikegraphs[J].J.Appl.Math.puting,200311(1-2):109-123.〔13〕C.J.Bu,J.Zhou,St
