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时间:2018-11-16
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1、一道高考与自主招生试题对比分析 高考是国家为选拔优秀人才进入大学深造的重要考试,自主招生考试是重点高校对顶尖学生进行区分选拔的测试,二者相辅相成,互为补充.研究近年高考和自主招生试题,可以发现,有些试题形同质异.研究二者其异同,不但可以激励更多的学生参加自主招生,还有利于提高解题能力,高考取得优异成绩. 典例1(2013年山东)如图1所示,一质量m=0.4kg的小物块,以v0=2m/s的初速度,在与斜面成某一夹角的拉力F作用下,沿斜面向上做匀加速运动,经t=2s的时间物块由A点运动到B点,A、B之间的距离L=10m.已知斜面倾角θ=30°,物块与斜面之间
2、的动摩擦因数μ=313.重力加速度g取10m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.(2)拉力F与斜面的夹角多大时,拉力F最小?拉力F的最小值是多少? 解析(1)设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为v,由运动学公式得 L=v0t+112at2(1) v=v0+at(2) 联立(1)、(2)式,代入数据解得 a=3m/s2(3) v=8m/s(4)3 (2)设物块所受支持力为FN,所受摩擦力为Ff,拉力与斜面之间的夹角为α.受力分析如图2所示.由牛顿第二定律得 Fcosα-mgsinθ-Ff=ma(5) Fsinα+
3、FN-mgcosθ=0(6) 又Ff=μFN(7) 联立解得F=mg(sinθ+μcosθ)+ma1cosα+μsinα(8) 令μ=313=tanα, 由数学知识得cosα+313sinα=2313sin(60°+α)(9) 由(8)、(9)式可知对应的F最小值的夹角α=30°(10) 联立(3)、(8)、(10)式,代入数据得F的最小值为 Fmin=13315N. 典例2(2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体,力量较大,最多能提起m=50kg的物体.一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上,重物与斜坡间的摩擦因数为μ=313≈0
4、.58.试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值? 解析根据题述,拉力F=mg=50gN. 设该同学拉动重物的力F的方向与斜面夹角为,分析重物M受力,如图4所示.将各力分别沿斜面方向和垂直斜面方向分解,由平衡条件得: 在垂直斜面方向上FN+Fsin-Mgcosθ=0, 式中FN是斜面对重物的支持力,其大小等于重物对斜面的正压力. 沿斜面方向上Fcos-f-Mgsinθ=Ma, 由摩擦定律f=μFN. 根据题意,重物刚好能被拉动,加速度a可近似认为等于零,即a=0.3 联立解得M=F(cos+μsin)1g(μcosθ+sinθ). 令μ=ta
5、nα,代入上式可得 M=Fcos(+α)1gsin(θ+α). 要使该同学向上拉动的重物质量M最大,上式中分子取最大值,即 cos(+α)=1, Mmax=F1gsin(θ+α). 由μ=tanα=313,可得α=30°,代入上式可得该同学向上拉动的重物质量M的最大值 Mmax=F1gsin(15°+30°)=502kg=70.7kg. 点评这两道从题图上看很相似,都是斜面上物体受到一个拉力作用;从题目问题看,二者均为求极值,均需要运用数学上三角函数求极值.两道题的不同点主要有以下三方面:第一方面,典例1有两问,典例2只有一问.典例1的第(1)
6、问容易得出,命题者的目的使考生容易得分,提高其得分率,这是高考命题的要求.第二方面,典例1利用牛顿运动定律,求拉力F的最小值;典例2利用平衡条件,求拉动的重物质量M的最大值.第三方面,典例1涉及的知识主要是匀变速直线运动规律、受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.典例2涉及的知识主要是受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.解答时要注意利用重物刚好能被拉动这一条件.要得出该同学向上拉动的重物质量M的最大值,需要根据题述列出相关方程,解得M的函数表达式,利用数学知识得到最大值.3
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