一道高考与自主招生试题对比分析

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1、一道高考与自主招生试题对比分析　　高考是国家为选拔优秀人才进入大学深造的重要考试，自主招生考试是重点高校对顶尖学生进行区分选拔的测试，二者相辅相成，互为补充.研究近年高考和自主招生试题，可以发现，有些试题形同质异.研究二者其异同，不但可以激励更多的学生参加自主招生，还有利于提高解题能力，高考取得优异成绩.　　典例1（2013年山东）如图1所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间

2、的动摩擦因数μ=313.重力加速度g取10m/s2.（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？　　解析（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得　　L=v0t+112at2（1）　　v=v0+at（2）　　联立（1）、（2）式，代入数据解得　　a=3m/s2（3）　　v=8m/s（4）3　　（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面之间的夹角为α.受力分析如图2所示.由牛顿第二定律得　　Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）　　Fsinα+

3、FN-mgcosθ=0（6）　　又Ff=μFN（7）　　联立解得F=mg（sinθ+μcosθ）+ma1cosα+μsinα（8）　　令μ=313=tanα，　　由数学知识得cosα+313sinα=2313sin（60°+α）（9）　　由（8）、（9）式可知对应的F最小值的夹角α=30°（10）　　联立（3）、（8）、（10）式，代入数据得F的最小值为　　Fmin=13315N.　　典例2（2013年华约自主招生）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体.一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=313≈0

4、.58.试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值？　　解析根据题述，拉力F=mg=50gN.　　设该同学拉动重物的力F的方向与斜面夹角为，分析重物M受力，如图4所示.将各力分别沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得：　　在垂直斜面方向上FN+Fsin-Mgcosθ=0，　　式中FN是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力.　　沿斜面方向上Fcos-f-Mgsinθ=Ma，　　由摩擦定律f=μFN.　　根据题意，重物刚好能被拉动，加速度a可近似认为等于零，即a=0.3　　联立解得M=F（cos+μsin）1g（μcosθ+sinθ）.　　令μ=ta

5、nα，代入上式可得　　M=Fcos（+α）1gsin（θ+α）.　　要使该同学向上拉动的重物质量M最大，上式中分子取最大值，即　　cos（+α）=1，　　Mmax=F1gsin（θ+α）.　　由μ=tanα=313，可得α=30°，代入上式可得该同学向上拉动的重物质量M的最大值　　Mmax=F1gsin（15°+30°）=502kg=70.7kg.　　点评这两道从题图上看很相似，都是斜面上物体受到一个拉力作用；从题目问题看，二者均为求极值，均需要运用数学上三角函数求极值.两道题的不同点主要有以下三方面：第一方面，典例1有两问，典例2只有一问.典例1的第（1）

6、问容易得出，命题者的目的使考生容易得分，提高其得分率，这是高考命题的要求.第二方面，典例1利用牛顿运动定律，求拉力F的最小值；典例2利用平衡条件，求拉动的重物质量M的最大值.第三方面，典例1涉及的知识主要是匀变速直线运动规律、受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.典例2涉及的知识主要是受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.解答时要注意利用重物刚好能被拉动这一条件.要得出该同学向上拉动的重物质量M的最大值，需要根据题述列出相关方程，解得M的函数表达式，利用数学知识得到最大值.3