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1、高等数学中国民航大学理学院陶志E-mail:t86543213@163.com极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.我国古代数学家刘徽(公元3世纪)就是极限思想在几何学上的应用.1、割圆术:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣.刘徽接正多边形来推算圆面积的方法:第三节数列的极限一、极限概念的引入利用圆内二、数列的定义定义按一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列.可简记为其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).2、截丈问题:(庄子天下篇)一尺之棰,日截其半,万世不竭.注:在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法.
2、数列举例:注:1.它在数轴上依次取值2.数列可看作数轴上一个动点,的函数:数列可看作自变量为正整数三、数列的极限观察数列当时的变化趋势.实验表明:当无限增大时,上述数列无限接近于1.问题:当无限增大时,无限接近于某一确定的数值，这一事实如何用数学语言刻画？记号:---存在.数列无限接近数的数学描述:是否使当时,对每一个或任给的;---恒有定义若对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数使得对于时的一切不等式都成立,则称常数是数列的极限,或称数列收敛于记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意:1）数列极限的定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质。2）
3、定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了逼近时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。3）定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。4）数列极限的定义未给出求极限的方法。例1下列各数列是否收敛,若收敛,试指出其收敛于何值.(1);(2);(3).;(4)解(1)数列即为易见,当无限增大时,也无限增
4、大,故该数列是发散的;(2)数列即为易见,当无限增大时,无限接近于0;(3)数列即为易见,当无限增大时,无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;(4)数列即为易见,当无限增大时,无限接近于1,故该数列是收敛于1.例2证明证故对任给要使只要即所以,则当时,就有即由若取例3设为常数),证明证因为任给对于一切自然数恒有所以,即:常数列的极限等于同一常数.注:用定义证数列极限存在时,关键是:对任意给定的寻找但不必要求最小的例4证明其中证任给若则若欲使必须即故对任给若取则当时,就有从而证得例5设且求证证任给由要使即要对当时,从而当时,恒有故例6用数列极限定义证明
5、证由于只要解得因此,对任给的则时,故要使取成立,即例7用数列极限定义证明证由于只要即因此,对任给的当时,即要使取有成立,例8证明:若则存在正整数当时,不等式成立.证因由数列极限的定义知,对任存在恒有由于故时,恒有从而有当时,给的由此可见,只要取则当时,恒有证毕.四、收敛数列的性质1、收敛数列的有界性定义对数列若存在正数使对一切自然数恒有则称数列有界,否则,称为无界.例如,数列有界;数列无界.几何解释:存在使得数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.定理1收敛的数列必定有界.证设由定义,若取则使当时,恒有即:若记则对一切自然数皆有故有界.注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.
6、2、极限的唯一性定理2收敛数列的极限是唯一的.例9证明数列是发散的.证设由定义,对于使得当时,恒有即当时,区间长度为1.而无休止地反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内.因此该数列是发散的.证毕.注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.定理3(收敛数列的保号性)若且(或),则存在正整数当时,都有(或).证只证的情形.按定义,对正整数当时,有证毕.推论若数列从某项起有(或且则(或证只证数列从第项起有情形.3、收敛数列的保号性用反证法.若则由定理3,正整数有取时,当按假定有但按定理3有矛盾.故必有数列从某项起有的情形,可以类似地证明.当时,4、收敛数列的极限运算法则较复杂的数列极限
7、。极限可以求出更多比和某些已知收敛数列的列极限的四则运算法则利用数5、子数列的收敛性定义在数列中任意抽取无限多项项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数并保持这些列称为原数列的子数列(或子列).注:是中的第项,是原数列中第项,定理5(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛,且极限也是证设数列是数列的任一子数列.由故正整数当时,恒有取则当时,于是即证毕.注:定理5的逆否命题知,若数列
