第三章 lyapunov指数的非线性控制

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1、第三章Lyapunov指数的非线性控制InstabilityLyapunovexponents不稳定性判据1.1初始条件敏感性是导致系统不可预测的原因，其实是系统固有的不稳定性在作用1.2指数分叉（Exponentsdivergence)李雅普诺夫指数λ与等价的误差放大倍数k有：L.E.（李雅普诺夫指数）是1892年提出的，直到近几年，才认识到它的重要性——它是判断有界非线性系统是否为混沌系统的一个重要方法。定义1它是用来度量相空间中两条相邻轨迹随时间变化按指数规律吸引或分离的程度。这两条轨迹有不同的初始条件。一个正的李雅普诺夫指数说明，在一个具有有界轨道的动力学系统中

2、，存在着混沌运动。（王东升1985）定义2(公式定义)—wolf1985对一n维相空间中的连续动力学系统，考虑一个以为中心，为半径的n维无穷小超球面的长时间演变行为，其中。随着时间的变化，由于流形的局部变形的本质，球面会逐渐演化成为一超椭球面。按椭球第i个主轴的长度可定义系统的第i个李雅普诺夫指数：或可定义为其中式（1-1），的单位为比特/时间，表示单位时间内系统信息损失的多少，适用于从信息论的角度来考虑李雅普诺夫指数的含义。x0p1(0)t-timeflowp2(t)p1(t)p2(0)x(t)DefinitionofLyapunovExponentsGivenaco

3、ntinuousdynamicalsysteminann-dimensionalphasespace,wemonitorthelong-termevolutionofaninfinitesimaln-sphereofinitialconditions.Thespherewillbecomeann-ellipsoidduetothelocallydeformingnatureoftheflow.Thei-thone-dimensionalLyapunovexponentisthendefinedasfollowing:一种实用的计算方法：即发现系统由方向定义的椭球主轴长度

4、按倍数增加，由两个方向定义的面积按倍数增加，由三个方向定义的体积按倍数增加，因此，这提示人们利用椭球主轴定义的i维体积的变化来计算李雅普诺夫指数。表：运动类型与李雅普诺夫指数关系类型最大Lyapunovexponent稳定不动点λ<0稳定极限圆λ=0Chaos0<λ<∞noiseλ=∞表：运动类型与李雅普诺夫指数关系最大李雅普诺夫指数返回ThesignoftheLyapunovExponent<0-thesystemattractstoafixedpointorstableperiodicorbit.Thesesystemsarenonconservative(dis

5、sipative)andexhibitasymptoticstability.=0-thesystemisneutrallystable.Suchsystemsareconservativeandinasteadystatemode.TheyexhibitLyapunovstability.<0-thesystemischaoticandunstable.Nearbypointswilldivergeirrespectiveofhowclosetheyare.定义：最大李雅普诺夫指数假设系统有n个Lyapunovexponents，将它们按大小顺序排列起来，如：，则

6、称这些数组成的集合为李雅普诺夫指数谱，记为。其中被称为最大李雅普诺夫指数。返回Order:λ1>λ2>…>λnThelinearextentoftheellipsoidgrowsas2λ1tTheareadefinedbythefirst2principleaxesgrowsas2(λ1+λ2)tThevolumedefinedbythefirst3principleaxesgrowsas2(λ1+λ2+λ3)tandsoon…Thesumofthefirstjexponentsisdefinedbythelong-termexponentialgrowthrateof

7、aj-volumeelement.由最大李雅普诺夫指数可判断系统的运动性质。如当时，由式（1-1）可知即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道按指数的规律发散。如果系统的变化是有界的，系统为混沌运动。当时，同样由式（1-1）可知，即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道的距离既不增加也不减少。当时，有即相轨迹上相邻两点产生的两条轨道之间的距离在逐渐减小。随着时间的推移，两者间的距离可任意小。因此，系统最终收敛为一个极限环或一个点。1.3从数据中测量最大指数1.4混沌运动中的几个重要概念1.平衡点（不动点，theFixedPoint）对差分方程（状态变