连续弹簧振子波速的建模分析

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1、连续弹簧振子波速的建模分析　　我们知道，纵波波速的推导涉及到波动方程和高等数学（见舒幼生《力学》等书），那么是不是非要学了求导和微分方程之后，我们的学生才能模仿着推导一下纵波波速呢？而这个过程其实也是比较抽象的.如果能从振动的角度也找出一种推算的方法，或许对中学生而言就会显得比较亲切了.　　1表观建模　　简化的纵波可以看作很多个弹簧振子沿直线相连.图1是用软件模拟右行纵波各质点振动过程中（左右振动），某一时刻的截图（上排是质点的平衡位置），仔细观察虚线框出的四个质点的状态：a位于平衡位置（疏部），b、c相互挤压最厉害（正中央为密部），而d又是位于平衡位置（疏部），即d比a振动

2、晚一个周期，即相位差2π.　　现构造模型，如图2所示的，假定每个质点质量为m，相互用劲度系数为k、原长为L0的轻弹簧相连，每个质点的振幅为A.观察b质点，其振动比a晚1/3个周期，即相位差2π/3，c又比b晚2π/3.若令xa=acosπ/2，　　则xb=Acos（2π12-2π13）=Acos（-π16）=312A，　　xc=Acos（-5π16）=-312A.　　观察弹簧，b左侧弹簧拉伸xb，右侧压缩xb+（-xc）=2xb，故b的回复力为3　　Fb=-（1+2）×312kA，　　再根据b此时的位移，得其振动周期是T=2πm13k.而a的振动形式传到b须耗时T/3，振动形

3、式将向前传播L0，所以波速可写作　　v=L01T/3=3L012π3k1m.　　现有一根均匀的、横截面积为S、长度为L、密度为ρ、杨氏模量为Y的长杆，欲研究其中纵波的速度，可以将其均分为n段，每段质量为m=ρSL1n，集中在一个质点上，相互用劲度系数为k、原长为L0=L1n的小、轻弹簧相连，而劲度系数k需要先研究整杆劲度系数K：假定该杆被拉伸了Δx，它能产生的弹力为F=YS1LΔx，故整杆劲度系数K=YS1L，每小根弹簧为k=nK=nYS1L，代入得v=312π3Y1ρ.将钢铁的Y=2.0×1011Pa、ρ=7.85×103kg/m3代入得钢铁中纵波波速为v=4174.3m/

4、s，该结果与实际情况还算接近，但是与波动方程推出的公式有些出入（见舒幼生《力学》，283～285页）.　　2修正模型　　上述误差来自于将连续体长杆人为切割成确定大小的振子（否则不可能出现图2的位置关系），所以波速对该一维振子序列是正确的，但是对连续体纵波就是不准的.要想精确地计算，对于连续体应当足够细地分割，现在给出一个更一般的模型如图3：一维振子模型同前，每个振子振幅为A，不过这次b位于正向最大位移，而最近的一个处于平衡位置的质点是相距α个L0处的d，只要α就可以足够大，每个质点将被分得足够小，相当于足够细地微分.当然这里还是要稍许用到波动知识，d比b振动相位落后π/2，被

5、平分为α份，则c比b落后π/2α，而左侧a相位则比b超前π/23α.令xb=Acos2π，易知xa=Acos（2π+π/2α），xc=Acos（2π-π/2α）.且b左侧弹簧拉伸，右侧压缩，故所受的回复力大小是　　F=k（A-xa）+k（A-xc）=2kA[1-cos（π/2α）]，　　而b此时的位移大小是A，故其振动的周期为　　T=2πm12k[1-cos（π/2α）]=2πm14ksin2（π/4α）.　　T/4后，b的振动形式将传到d，即波速为　　v=αL01T/4=4αL01πk1msinπ14α，　　当足够微分时，α变得非常大，　　sinπ14α≈π14α，　　于是

6、有v=l0k1m，　　再将m=ρSL1n、L0=L1n、k=nK=nYS1l代入得　　v=Y1ρ，　　这样，就和纵波波速公式完全一致了.　　3结束语　　以上的推导过程，着重于弹簧连接体模型的力学分析，毕竟简谐振动就是用回复力定义的.在这里我们尽量避免出现复杂的计算公式比如波动方程，也完全避免了高等数学的运用，以中学生可以理解的、比较形象的方式引导他们思考.学生如果能够自己试一试，推一推，熟练掌握其中的技巧，不论是对他们的计算能力，还是物理情景、建模的能力上，都是大有裨益的.3