正弦函数图像与性质

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时间:2018-11-15

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1、正弦函数图像与性质正弦函数图像的作出以上我们作出了y=sinx,x∈[0,2π]的图象,因为sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z),所以正弦函数y=sinx在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π],x∈[4π,6π]时的图象与x∈[0,2π]时的形状完全一样,只是位置不同。现在把上述图象沿着x轴平移±2π,±4π,……就得到y=sinx,x∈R的图象。叫做正弦曲线.正弦函数y=sinx,x∈R,的图象叫做正弦曲线.例1用五点法作下列函数的简图(1)y=sinx,x∈[0,2π],(2)y=1+sinx,x∈[0,2π],

2、(1)(2)y=1+sinx(x∈[0,2π])例2利用正弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合:解:在y轴上取点(0,0.5),过该点作x轴的平行线,与正弦函数图象相交于点等,所以不等式的解集是正弦函数y=sinx性质(1)定义域:y=sinx的定义域是实数集R(2)值域:正弦函数的值域是[-1,1].①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最大值1;②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最小值-1(3)周期性:由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)知:正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质

3、称为三角函数的周期性。正弦函数y=sinx性质对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。(有些周期函数没有最小正周期).注意:(1)周期函数中,x定义域M,则必有x+TM,且若T>0,则定义域无上界;T<0则定义域无下界;(2)“每一个值”,只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+T)f

4、(x0));(3)T往往是多值的(如y=sinx,T=2k都是周期,最小正周期是2π.)(4)奇偶性:由sin(-x)=-sinx,可知:y=sinx为奇函数,因此正弦曲线关于原点O对称.(5)单调性闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1例3:设sinx=t-3,x∈R,求t的取值范围。解:因为-1≤sinx≤1,所以-1≤t-3≤1,由此解得2≤t≤4.例4:求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什

5、么.(1)y=sin2x,x∈R;(2)y=sin(3x+)-1解:(1)令w=2x,那么x∈R得Z∈R,且使函数y=sinw,w∈R,取得最大值的集合是{w|w=+2kπ,k∈Z}由2x=w=+2kπ,得x=+kπ.即使函数y=sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}函数y=sin2x,x∈R的最大值是1.(2)当3x+=2k+即x=(kZ)时,y的最大值为0.例5:求下列三角函数的周期:y=sin(x+);(2)y=3sin(+)(3)y=

6、sinx

7、解:(1)令z=x+而sin(2+z

8、)=sinz即:f(2+z)=f(z),f[(x+2)+]=f(x+)∴函数的周期T=2.(2)y=3sin()解:令z=,则f(x)=3sinz=3sin(z+2)∴函数的周期T=4.=f(x+4)=3sin()=3sin(+2)(3)y=

9、sinx

10、解:f(x+π)=

11、sin(x+π)

12、=

13、sinx

14、,所以函数的周期是T=π.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中)的周期是例6:不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0,(1)sin(-)-sin(-);(2)sin(-)-sin(-).解:(1)∵且

15、函数y=sinx,x∈[-,]是增函数即sin(-)-sin(-)>0(2)sin(-)=-sinsin(-)=-sin函数y=sinx在区间()内为增函数,∴sin(-)-sin(-)<0.

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