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时间:2018-11-16
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1、具有双时滞的离散SIS传染病模型稳定性分析【摘要】首先我们通过非标准有限差分法将连续的SIS模型化成离散模型.接着分析此模型的无病平衡点E0,地方性平衡点E*以及阈值0;当0>1时,无病平衡点全局稳定;反之疾病持续.【关键词】非标准有限差分法;全局稳定;持续;时滞1.引言在连续的SIS传染病模型,如文献[1]根据传染病的生物意义考虑潜伏时滞与康复时滞.在文献[2]中又考虑这样的时滞/wOl(t-s)dn(S),而文献[3]的作者根据非标准有限差分法将此系统化成差分系统,从而也得到与文献[2]相同的结论.基于以上学者的基础我们首先考虑一个SIS模型如下:S⑴'=
2、X-3(I)S(t)/t01(t-s)dn(s)-uIs(t)+Ye-u2«I(t-W),
3、(t)'=(I)S(t)/T01(t-s)dn(s)-(y+u2)I(t).(1)2.模型以及无病平衡点的稳定性将模型(1)通过非标准有限差分法化成差分模型如下:Sn+l-Sn-=入-uISn+l-3(In)Sn+lZtk=Oln-knk+ye-u2«
4、n-«,ln+l-ln=(In)Sn+lEtk=Oln-knk-(u2+y)I(t).(2)这里Sn,In分别表示易感者组和感染者组;正常数入,ul,U2,丫分别表示出生率,易感者死亡率,感染者死亡率和康复率;3(I)表
5、示单位时间内有效接触率,发生P(In)Sn+lZtk=Oln-knk形式也说明时滞的变化.根据文献[3],我们假定3(I)是正定的函数且存在印>0使3(I)在区间[0,1自]上是非减的;t^O,G)>0是时滞;在根据文献[2]定义数列是非减且有界变集O:-°°0,i=l,2.当0(1)=3〉0是常数,系统(6)的无病平衡点是E0=(S0,0),S0=Xp1.我们令正数A=Ztk=Oln-knk并且定义阈值0^0(0)A入P1(P2+y).如果O>1,系统(2)有一个地方性平衡点E*=(S*,I*),s*=u2+yA,l*=X-ulS*u2+y-ye-u2w.引
6、理1对系统(2)任意的解(Sn,In)当neN时,那么(Sn,In)>0.证明根据系统(2)的第一个方程我们得到Sn+1=入+Sn+ye-u2cdln-wi+ui+(In)Ztk=Oln-knk,从初值条件(3)和S0>0,很容易看出Sl>0,以此类推我们很容易得到Sn>0.再从(2)的第二方程,我们得至ijln+l=ln+0(In)Sn+lZtk=0ln-knkl+u2+y,当n>0时,从初值条件(3)和Sl>0,我们得到11>0,以此类推我们很容易得到ln>0.引理1得证.定理1对于系统(2)的任意解(Sn,In),那么人口总数Nn=Sn+ln满足lims
7、upn-*+°°Nn^入u1.证明首先我们定义人口总数Nn^Sn+ln.从系统(2)我们得到Nn+1-Nn=入-uISn+l-u2ln+l-u3Rn+l.(4)根据生物的自然意义我们可知Plo所以u10,其次我们使用类似于文献[3]当中的建立Lyapunov函数的方法证明无病平衡点E0的稳定性.定理2当o0(i=l,2),Av=Vn+l-Vn=ln+l-ln+clEtk=0(ln+1nk-ln-knk)+c22{(Sn+l-SO)2-(Sn-SO)2}.又因为当n彡0时SnO(i=l,2,3,4)满足clA
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