折――折出你的思维

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1、折――折出你的思维　　纸片的折叠的问题情境常用来考查轴对称性质，而且着重探索基本图形――等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的性质。折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称，所有对应点的连线被折痕垂直平分，对应线段和对应角相等；纸片的折叠问题的本质是全等变换，折叠后的图形与原图形是全等的，解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键。　　一、三角形纸片的折叠问题的探讨　　例1　如图1，在锐角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于

2、点F，折痕EF∥BC，连结AD，DE，DF。　　（1）求证：线段EF是△ABC的中位线；　　（2）线段AD，BC有何关系？并证明你的结论；　　（3）若AB=AC，试判断四边形AEDF的形状，并加以证明。　　点评：纸片的折叠问题的本质是全等变换，折叠后的图形与原图形是全等的，AE=ED，∠AEF=∠DEF是解题的突破口。AD⊥BC，AEDF是菱形。　　变式1：你能用一张锐角三角形纸片折出它的四条重要线段：中位线，高，中线，角平分线吗？试一试，动手折一折。　　变式2：如图2，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折

3、叠，使点A落在边BC的延长线上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F，折痕EF∥4BC，连结CE，DE，DF，且BC=2CD。　　（1）图中有几个等腰三角形？请写出（不能添加字母和辅助线，不要求证明）；　　（2）若AC=BC，判断四边形EFDC的形状，并证明你的结论。　　通过“题组”的形式设计对三角形纸片的折叠问题的探讨。　　变式1的目标：通过例1学习，学会三角形的中位线的折法。那中线，高，角平分线折法呢？不仅沟通了知识间的联系又训练了学生的发散思维，使学生能够“举一反三”“触类旁通”。　　变式2的目标

4、：探讨钝角三角形纸片沿中位线折叠的问题。　　通过“题组”形式在整体上探讨三角形纸片沿中位线折叠会得到什么结果？有无共性？（△BDE和△BDE都是等腰三角形，AD⊥BC）能否通过折叠建立三角形与菱形的关系？　　二、矩形纸片的折叠问题的探讨　　例2　（2008年江西）如图3，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处。　　（1）求证：B′F=BF；　　（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间有何等量关系，并给予证明。4　　点评：本题重观察、分析，适当削弱、降

5、低了传统的推理论证要求，这一命题方向正与课程标准的要求、理念是十分吻合的。本题的问题是对折叠过程中所产生的角与角、边与边的数量关系的探究活动，其功能主要一方面是考查学生的空间想象能力，另一方面是考查学生运用几何性质进行推理论证能力。在观察、分析折叠图形时，应从折叠（可看成轴对称）中发现等角（∠B′FE=∠EFB，∠A=∠A′）、等线段（FB=FB′，AB=A′B′，A′E=AE）等结果。当思考过程中有困难时，可借助动手实践（即按题意实际折叠一次）帮助找出上述等量关系，提高其解题速度。此题还值得一提的是设问

6、科学和谐，第（1）问是为第（2）问铺垫，第（2）问是第（1）问的深化。第（2）问关系式的写出具有一定的策略开放性，也就是能从多个方向去思考都能找到这个关系式a2+b2=c2。　　变式1：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。　　（1）将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点E处（如图4-1），设DE与BC相交于点F，则BF的长是________。　　（2）将矩形纸片如图4-2折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，则GH的长是_________。　　变式2：如图5，在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要

7、折出一个菱形。甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较甲同学和乙同学的折法中，哪种菱形面积较大？　　通过设计“题组”探讨矩形纸片的折叠问题。　　折叠的基本原理不变：折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称，所有对应点的连线被折痕垂直平分，对应线段和对应角相等；纸片的折叠问题的本质是全等变换。　　但折叠的方式可以有多种，问题的情境也随之改变。4　　变式1的目标：将问题特殊化

8、，第（1）问中将矩形纸片的一个角沿对角线折叠；第（2）问中将矩形纸片折叠，使矩形纸片相对的两个顶点重合。　　变式2的目标：将矩形纸片用两种不同的方法分别折4次折成菱形。　　通过“题组”形式在整体上探讨从不同的角度折叠矩形纸片的问题。　　（作者单位：江西省南昌市育新学校）4