高中数学数列中易忽视几个问题

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1、高中数学数列中易忽视几个问题高中数学中的数列一直是考试中考查的一个重点知识，学生在学习的过程中要加强对知识点的掌握。下面就数列中同学们容易忽视的几个问题通过例题的分析，希望能对该知识点的掌握起到促进作用。一、忽视等差、等比数列概念的掌握例1.在数列KJB({3anKJB)}3中，al=l,an+l=KSX(2anK5c•an+1KSX)2[lJB((2c为常数KJB))2,求证：dJB({3dSX(31OanKSX)3KJB)}3是等差数列.证明：由al=l,an+l=dSX(3anK3c•an+1KSX

2、)2HJB((2c为常数KJB))3,/.an乒0/.Ksx(31Oan+1Ksx)3-dsx(31OanKsx)3=ESX(3can+lOanKSX)2-ESX(21OanKSX)3=c为常数所以KJB({3KSX(31OanKSX)3KJB)是等差数列.例2.设数列KJB({3anKJB)}3前n项和为Sn，且HJB((33-mKJB))3Sn+2man=m+3,其中m为常数，m^-3且m乒0.求证：KJB({3anKJB)}3是等比数列.证明：由KJB((33nKJB))3Sn+2man=m+3①/

3、.KJB((23-mKJB))3Sn+l+2man+l=m+3②②-①得：KJB((33-mKJB))3an+l+2man+l-2man=oKJB((3m+3KJB))3an+l=2man又m关-3且m关0•••ESX(3an+1OanKSX)3=KSX(32mOm+3dSX)2为常数即HJB({3anKJB)}3是等比数列评析：有些同学处理例1时就会这样计算，由al可以求得a2、a3，发现dSX(32Oa2dSX)3=dSX(31OalHsx)3+Ksx(31Oa3Ksx)3，就说明KJB({3Ksx(

4、31OanKSX)3KJB)}3是等差数列，或说明KJB({3anDB)}3是等比数列，就只要找到a22=al、a3就可以了，这样做都是错误的。由定义有KJB({3anKJB)}3满足an+l-an=d为常数，这里nEKWTHZ3NKWTBX3*都成立，才说明KJB({3anKJB)}3是等差数列，若满足KSX(3an+1OanKSX)3=q为常数，就说明KJB({3anKJB)}3是等比数列.二、忽视n=1的情况例3.已知dJB({2anEJB)}3中al=l，an=3n-l+an-l,求EJB({3a

5、nDB)}3的通项公式.解：由已知有an-an-l=3n-l.••a2_al=3a3-a2=32an_an-l=3n_lKJB((2n^2dJB))3上n-1个式子叠加得：an-al=3+32+…+3n-l•••an:KSX(33n-l02KSX)3KJB((3n彡2KJB))3又n=l时al=l=KSX(331-1O2dSX)3满足上式•••KJB({3anKJB)}3的通项公式为an=KSX(33n-l02dsx)3评析：在求KJB({3anKJB)}3的通项公式过程中，很多同学直接利用an=Sn-S

6、n-l,忽视了出现n_l就得满足n彡2的这个条件，未包含n=l的情况，所以在解题中必须对n=l进行检验.三、忽视q=l的情况例4.已知Sn是等比数列KJB({3anDB)}3的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2、a8、a5成等差数列.证明：由条件有S3+S6=2S9这里有q关1，因为若q=l，则S3+S6=3al+6al=9al，2S9=18al此时S3+S6其2S9不满足题意所以由S3+S6=2S9KSX(3al(1-q3)K31-qKSX)3+KSX(3al(l-q6)Ol~qKSX)I

7、]=KSX(22al(l-q9)O1-q〖SX)3q3+q6=2q9又qT^O•••l+q3=2q6从而a2+a8=alq+alq3=alqKJB((3l+q3KJB))2=alq•2q6=2alq7=2a8即a2、a8、a5成等差数列.评析：许多同学看到等比数列的前n项和就自然只想到Sn=KSX(3aldJB((21-qndJB))2O1-qKSX)3,根本就忘记这个公式的前提是q^l,所以我们必须不可忽视对q=l情况的分析.四、忽视数列中项的符号的问题例5.已知四个数-9,al,a2,-1成等差数列，

8、五个数-9,bl,b2,b3,-1成等比数列，贝ijb2KJB((3a2-alKJB))3=Kzz(z3Kzz)3解：由-9，al，a2，-1成等差数列，设其公差为d，则d=Ksx(3-l-KJB((3-9KJB))3O3Ksx)3=Ksx(3803Hsx)3即a2-al=KSX(38K33KSX)3又-9，bl，b2,b3,-1成等比数列•••b22=-9XKJB((3_1KJB))3=9b2=±3又b21=-9b2...b