课时作业76柯西不等式与排序不等式

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1、课时作业76　柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式时间：45分钟　　　　分值：100分一、填空题(每小题5分，共45分)1．已知实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：由(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝1可得，x2＋y2＋z2≥.答案：2．(2010·广东东莞)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.答案：3．已知函数y＝3＋4，则

2、函数的定义域为________，最大值为________．解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0，y＝3＋4≤×＝5，ymax＝5.答案：[5,6]；54．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值为________，最小值为________．解析：由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)(＋＋)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，b＝1，

3、c＝，d＝时，amin＝1.答案：2　15．把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．解析：设三段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，三个正方形的面积和为S＝()2＋()2＋()2＝(x2＋y2＋z2)．因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，当且仅当x＝y＝z＝时等号成立，所以x2＋y2＋z2有最小值，从而S有最小值.答案：6．已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.解析：由柯西不等式，得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－

4、b2)＋b2]＝1，当且仅当＝时，上式取等号，∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：17．若a>0，b>0，给出下列四个不等式：①a＋b＋≥2；②(a＋b)(＋)≥4；③≥a＋b；④a＋≥－2a.其中正确的不等式有________．(只填序号)解析：∵a>0，b>0，∴①a＋b＋≥2＋≥2·＝2；②(a＋b)(＋)≥4＝4；③∵≥，∴a2＋b2≥＝(a＋b)≥(a＋b).∴≥a＋b；④a＋＝(a＋4)＋－4≥2－4＝2－4＝－2，当且仅当a＋4＝，即(a＋4)2＝1时等号成立，而a>0，∴(a＋

5、4)2≠1.∴等号不能取得．答案：①②③8．用数学归纳法证明(1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)>(k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋)，最后一个是(1＋)，共有2k－2k－1＝2k－1项．答案：(1＋)(1＋)…(1＋)　2k－19．用数学归纳法证明≥()n(a，b是非负实数，n∈N)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________．解析：要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边

6、同乘以，右边也出现了要求证的()k＋1.答案：两边同乘以二、解答题(共55分)10．(15分)(2011·江苏盐城)已知a、b、c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ

7、)2＋z2]≥(2x＋5y＋6z)2，∴(2x＋5y＋6z)2≤299，∴当即x＝，y＝，z＝时，2x＋5y＋6z有最大值.——探究提升——12．(20分)设a1、a2、…、an是1、2、…、n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1、b2、…、bn－1是a1、a2、…、an－1的一个排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有＋＋…＋≥

8、＋＋…＋≥＋＋…＋.∴原不等式成立．