利用算法多样化穿行于算理与算法间

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1、利用算法多样化穿行于算理与算法间　　我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了优秀的成绩，积累了很多宝贵的经验。然而，长期以来由于对书面考试（我们分析了一些书面试卷‘县级期末试卷样本’，书面考试内容中50%～75%涉及计算内容）追求，人们更多强调计算得又对又快（当然，我们并不否认这种运算技能的重要性）。相关实践表明，计算内容（笔算为主）即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用。这就十分清楚地揭示了数学课堂教学中的一个普遍现象：对于计算教学（笔算），只要让学生把法则背诵下来，反复操练和使用算法就可以达到又

2、对又快。这种现象有学者把它称为“未理解就熟练”。相信大家都会认同这样一个观点：计算教学不应仅仅着眼于技能的形成，而应发展学生对数的性质的理解力和洞察力，培养学生的数感，使学生真正理解算理，同样也承担着培养过程能力（如经验、思考、探究、推理、交流等）、数学思维能力、问题解决能力的重任；积累数学活动经验，为后续学习奠定基础。因此，我认为，计算教学应强调学生在已有知识经验的基础上，理解算理、构建算法。6　　在整个计算内容的学习过程中，很多教师已认识到借助直观情境、操作帮助学生理解算理、构建算法的重要性。在实际教学中，教师也会设计许多直观情境和操作活动，但这些

3、情境和动手操作就能真正让学生理解计算的算理吗？在许多教师的教学实践中，直观情境和操作何以成了可有可无的摆设？我们是否过分强调我们教师的作用，而忽视了学生的认知发展水平和已有的经验？学生经验、算理和算法应如何结合？在这一命题下，我们可以提出一系列问题：对于计算，学生已有经验中所蕴含的想法有哪些？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？算理对构建算法有什么价值？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理并过渡到算法？算法多样化在算理与算法之间起了什么作用？理解算理、构建算法是否只是一节新授课的任务？本文试图通过案例分析作一些尝试性论述。　　一　　算理就是

4、计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题。算法就是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简约了复杂的思维过程、添加了人为规定后的程式化的操作步骤，主要是解决算得方便、准确的问题。如计算12×3时，就是根据数的组成和乘法的意义，再根据推广的乘法分配律进行演算：　　这就是算理。计算中根据乘法的意义，并利用乘法的分配律，这样保持运算的持续性。简单地说，算理可理解为：运算的意义，数概念背后所蕴含的十进制、位值制思想，运算的性质与定律，运算之间的互逆关系。上面的计算可以用竖式表示，即：　　当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：

5、一位数与多位数的个位相乘得几个一，一位数与多位数的十位相乘得几个十……6最后再把几个乘积合并，这是学生感悟算理的过程。然后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成简化竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：用一个因数从低位起开始，分别去乘另一个因数的每一位，确定积的定位。这就是算法。　　算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼与概括，它们是相辅相成的。然而，理

6、解算理、构建算法并不能一味强调数学的科学性和教师指向明确的预设，更多地要考虑学生的认知发展水平和已有经验。在学生的学习过程中，学生有日常生活的经验，有数学学习过程中积累的数学活动经验，有他们对新知识理解最朴素的想法，等等。这一切的一切都随着数学活动、学习情境而深入展现出“主动探索”，它具体表现在计算学习中的“算法多样化”过程中。　　二　　1.学生经验中所蕴含的想法有哪些　　从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，

7、去建构对数学的理解。因此，在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴含着算理和算法。　　学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方法往往蕴含着学生心目中的“算理”6，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同，对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。　　对于“学生经验中所蕴含的想法有哪些”的思考，推广到计算教学的一般

8、层面能给我们一线教师提供通识的策略。首先，要重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索能唤醒