形如“af（x）+b=c”方程的五种解法

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1、形如“af（x）+b=c”方程的五种解法　　解分式方程的一般思想方法是通过去分母，把分式方程转化为整式方程来求解.但对于一部分较特殊的分式方程，若用一般方法求解，则解题过程比较繁杂，因此，应根据分式方程的结构特点，采用特殊的方法和技巧求解.　　对于形如“af（x）+b=c”（其中a、b、c为常数，f（x）是关于x的二次代数式）”的可化为一元二次方程的分式方程，一般来说都可以用如下五种方法来解.下面我以方程+=7为例，谈谈这五种方法的具体求解过程.　　一、倒数换元法　　观察分式方程“af（x）+b=c”，我们不难发现它有一个明显

2、的特点是：f（x）与互为倒数.对于此类问题，最简明的求解方法就是利用倒数换元法来求解.因此我们可以假设f（x）=y，那么=，这样一来，经过换元后关于新变量y的方程的次数就降低了，问题也就容易解决了.　　解法一：设=y，则=（y≠0），原方程变形得2y+=7.　　去分母，得2y-7y+6=0，解之得y=2，y=.　　当y=2时，=2，去分母，化简得x-2x-1=0，解之得x=1±；　　当y=时，=，去分母，化简得2x-3x-1=0，解之得x=.检验略.　　二、均值换元法　　由于分式方程“af（x）+b=c”4的左边两个含有变量x

3、的式子的和是一个常数c，因此如果假设af（x）=+t，b=-t，由于f（x）与互为倒数，因此将两式相乘可以得到ab=-t，再由这个方程可以解得t，然后把t的值代入af（x）=+t中求得x.结合上述方程具体解法如下.　　解法二：设=+t，=-t，　　将上述两式相乘可得12=-t，解之得t=，t=.　　当t=时，=+，去分母，得2（x+1）=4（x+1），化简得x-2x-1=0，解之得x=1±；　　当t=-时，=-，去分母，得2（x+1）=3（x+1），化简得2x-3x-1=0，解之得x=.检验略.　　三、利用根与系数关系来解　　

4、仔细观察分式方程“af（x）+b=c”的特点，不难发现它有两个特点：①af（x）+b=c；②af（x）×b=ab，其中c与a×b都是常数.正好符合一元二次方程中的根与系数关系式，因此我们可以把af（x）与b看做是一元二次方程“y-cy+a×b=0”的两个实数根，我们只要解这个一元二次方程就可以得到af（x）与b的值，从而进一步求得原方程的解.　　解法三：由于+=7，×=12，因此我们把与看做是一元二次方程“y-7y+12=0”的两个根.解这个一元二次方程得y=4，y=3.　　若=4，则=3，由方程=4，去分母，得2（x+1）=

5、4（x+1），化简得x-2x-1=0，解之得x=1±；　　若=3，则=4，由方程=3，去分母，得2（x+1）=3（x+1），化简得2x-3x-1=0，解之得x=.检验略.　　四、十字相乘因式分解法4　　如果将分式方程进行移项或者去分母，再经过适当整理后，使得方程的右边是0，方程的左边是易于利用十字相乘法分解因式的式子，那么就可以利用十字相乘法来解此类方程.　　解法四：移项得+-7=0，利用十字相乘法分解因式得+-7=-（-1）（-3）=0，于是可以得到-1=0或-3=0.　　当-1=0时，整理得x-2x-1=0，解之得x=1±

6、；　　当-3=0时，整理得2x-3x-1=0，解之得x=.检验略.　　另解成：方程两边同时乘以（x+1）（x+1）去分母，移项得2（x+1）-7（x+1）（x+1）+6（x+1）=0，利用十字相乘法进行分解因式得[（x+1）-2（x+1）][2（x+1）-3（x+1）]=0，于是可以得到（x+1）-2（x+1）=0或2（x+1）-3（x+1）=0.　　当（x+1）-2（x+1）=0时，整理得x-2x-1=0，解之得x=1±；　　当2（x+1）-3（x+1）=0时，整理得2x-3x-1=0，解之得x=.检验略.　　五、待定系数因

7、式分解法　　在解方程+=7时，在学习用换元法解这个方程之前，大部分学生习惯上直接用去分母法来解，即方程两边同时乘以（x+1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x-7x+3x+5x+1=0.当学生在解这个高次方程有困难时，教师可以引导学生观察方程2x-7x+3x+5x+1=0的特点，可以发现：x的系数是2；常数项是1.根据这个特点，用待定系数法分解因式时只有两种可能.　　解法五：方程两边同时乘以（x4+1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x-7x+3x+5x+1=0.用待定系数法分解因式：　　①设2x-7x+3x+5x+1

8、=（x+ax+1）（2x+bx+1），去括号，合并同类项得，2x-7x+3x+5x+1=2x+（2a+b）x+（3+ab）x+（a+b）x+1，于是有2a+b=-73+ab=3a+b=5，求解方程组时，发现此方程组无解，说明此种分解不符合题意.　　②设2x-7x+3x+5x+