导数与三角函数的结合

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1、----导数与三角函数的结合1.（导数与三角函数结合）已知函数，其中为参数，且.（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（2a－1,a）内都是增函数，求实数a的取值范围.【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在两侧异号.【解析】（1）当时，，则函数在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值.（2）,令，得.由及（1）,只考虑的情况.当x变化时，的符号及的变化情况如下表：（－∞，0）0＋0－0

2、＋极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使＞0,必有，可得，所以.（3）由（2）知，函数在区间（－∞，0）与内都是增函数.由题设，函数在（2a－1,a）内都是增函数，则a需满足不等式组，由（2）,参数时，，要使不等式关于参数恒成立，必有.综上，解得a≤0或，所以a的取值范围是（－∞，0］∪［，1）.2.已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在[0，]上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．【思路点拨】　(1)分a＝0、a

3、＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．【规范解答】　(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，)，有sinx＋xcosx>0.当a＝0时，f(x)＝－，不合题意．当a<0，x∈(0，)时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，)内单调递减．又f(x)在[0，]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f(0)＝－，不合题意；当a>0，x∈(0，)时，f′(x)>0，从而f(x)在(

4、0，)内单调递增，又f(x)在[0，]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f()，即a－＝，解得a＝1.综上所述，函数f(x)的解析式f(x)＝xsinx－.(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－<0，f()＝>0.又f(x)在[0，]上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在[0，]上单调递增，故f(x)在(0，)内有且仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g(x)＝

5、f′(x)＝sinx＋xcosx.由g()＝1>0，g(π)＝－π<0，且g(x)在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈(，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(，π)时，有g′(x)<0，从而g(x)在(，π)内单调递减．当x∈(，m)时，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，从而f(x)在(，m)内单调递增，故当x∈[，m]时，f(x)≥f()＝>0，故f(x)在[，m]上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)

6、)在(m，π)内单调递减．又f(m)>0，f(π)<0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．