导数与三角函数的结合

导数与三角函数的结合

ID:24482076

大小:92.39 KB

页数:3页

时间:2018-11-15

导数与三角函数的结合_第1页
导数与三角函数的结合_第2页
导数与三角函数的结合_第3页
资源描述:

《导数与三角函数的结合》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、----导数与三角函数的结合1.(导数与三角函数结合)已知函数,其中为参数,且.(1)当时,判断函数是否有极值;(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在两侧异号.【解析】(1)当时,,则函数在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值.(2),令,得.由及(1),只考虑的情况.当x变化时,的符号及的变化情况如下表:(-∞,0)0+0-0+极大值极小值因此,函数在处取得

2、极小值,且.要使>0,必有,可得,所以.(3)由(2)知,函数在区间(-∞,0)与内都是增函数.由题设,函数在(2a-1,a)内都是增函数,则a需满足不等式组,由(2),参数时,,要使不等式关于参数恒成立,必有.综上,解得a≤0或,所以a的取值范围是(-∞,0]∪[,1).2.已知函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在[0,]上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.【思路点拨】 (1)分a=0、a<0和a>0三种情况求函数f(x)的最大值;(2)先用零点存在性

3、定理判断有无零点,再根据函数的单调性判断零点的个数.【规范解答】 (1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意x∈(0,),有sinx+xcosx>0.当a=0时,f(x)=-,不合题意.当a<0,x∈(0,)时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,)内单调递减.又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(0)=-,不合题意;当a>0,x∈(0,)时,f′(x)>0,从而f(x)在(0,)内单调递增,又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(

4、),即a-=,解得a=1.综上所述,函数f(x)的解析式f(x)=xsinx-.(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下:由(1)知,f(x)=xsinx-,从而有f(0)=-<0,f()=>0.又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,所以f(x)在(0,)内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在[0,]上单调递增,故f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx.由g()=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的,故存在m∈(,

5、π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0,从而g(x)在(,π)内单调递减.当x∈(,m)时,g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,从而f(x)在(,m)内单调递增,故当x∈[,m]时,f(x)≥f()=>0,故f(x)在[,m]上无零点;当x∈(m,π)时,有g(x)0,f(π)<0,且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,从而f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点.综上所述,f(x

6、)在(0,π)内有且只有两个零点.

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。