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时间:2018-11-13
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1、----导数与三角函数的结合1.(导数与三角函数结合)已知函数,其中为参数,且.(1)当时,判断函数是否有极值;(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在两侧异号.【解析】(1)当时,,则函数在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值.(2),令,得.由及(1),只考虑的情况.当x变化时,的符号及的变化情况如下表:(-∞,0)0+0-0+极大值极小值因此,函数在处取得极小值,且.要使>0,必有,可得,所以.(
2、3)由(2)知,函数在区间(-∞,0)与内都是增函数.由题设,函数在(2a-1,a)内都是增函数,则a需满足不等式组,由(2),参数时,,要使不等式关于参数恒成立,必有.综上,解得a≤0或,所以a的取值范围是(-∞,0]∪[,1).2.已知函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在[0,]上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.【思路点拨】 (1)分a=0、a<0和a>0三种情况求函数f(x)的最大值;(2)先用零点存在性定理判断有无零点,再根据函数的单调性判断零点的个数.【规范解答】 (1)由已知得f′
3、(x)=a(sinx+xcosx),对于任意x∈(0,),有sinx+xcosx>0.当a=0时,f(x)=-,不合题意.当a<0,x∈(0,)时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,)内单调递减.又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(0)=-,不合题意;当a>0,x∈(0,)时,f′(x)>0,从而f(x)在(0,)内单调递增,又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(),即a-=,解得a=1.综上所述,函数f(x)的解析式f(x)=xsinx-.(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.
4、证明如下:由(1)知,f(x)=xsinx-,从而有f(0)=-<0,f()=>0.又f(x)在[0,]上的图象是连续不断的,所以f(x)在(0,)内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在[0,]上单调递增,故f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx.由g()=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的,故存在m∈(,π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0,从而g(x)在(,π)内单调递减.当x∈(,m)时,g(x)>g(m)
5、=0,即f′(x)>0,从而f(x)在(,m)内单调递增,故当x∈[,m]时,f(x)≥f()=>0,故f(x)在[,m]上无零点;当x∈(m,π)时,有g(x)0,f(π)<0,且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,从而f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点.综上所述,f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.
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