2010年全国硕士设计研究生入学统一考试数学三试题与答案解析解析

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若，则等于（Ａ）０　　　　　　　（Ｂ）１　　　　　　　（Ｃ）２　　　　　　　（Ｄ）３(2)设,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解.若常数,使是该方程的解,是对应的齐次方程的解,则（A）(B)(C)(D)（3）设函数具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是(A)(B)(C)(D)（4）设，则当充分大时有(A).(B

2、).(C).(D).(5)设向量组可由向量组线性表示,则列命题正确的是(A)若向量组线性无关,则(B)若向量组线性相关,则(C)若向量组线性无关,则(D)若向量组线性相关,则(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B)(C)(D)(7)设随机变量的分布函数，则(A)0(B)1(C)(D)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,为概率密度,则应满足(A)(B)(C)(D)二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)（9）设可导函数由方程确定，则（10）设

3、位于曲线下方,轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为。（11）设某商品的收益函数为，收益弹性为,其中为价格,且,则（12）若曲线有拐点,则。(13)设为3阶矩阵,且则（14）设是来自总体的简单随机样本。记统计量，则。三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)（15）(本题满分10分)求极限（16）(本题满分10分)计算二重积分,其中由曲线与直线及围成.（17）(本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值.(18)(本题满分1

4、0分)(1)比较与的大小,说明理由。(2)记求极限。（19）(本题满分10分)设函数在闭区间上连续,在开区间内存在二阶导数,且(I)证明存在,使得；(II)证明存在,使得。(20)(本题满分11分)设，已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求；(2)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设,正交矩阵使得为对角矩阵.若的第一列为,求.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，求常数以及条件概率密度。(23)(本题满分11分)箱中装有6个球,其中红、白、黑球个数分别为1,2,3个,现从箱中随机地取出2个

5、球,记为取出红球的个数,为取出白球的个数.(I)求随机变量的概率分布；(II)求.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.【详解】由于　　　　　　　　从而由题设可得，即，故应选（C）(2)【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构【详解】因为,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，所以------------------

6、---------（1）由于是该方程的解,则即将（1）代入上式可得：——————————————（2）由于是对应的齐次方程的解则，即将（1）代入上式可得：——————————————（3）由（2）、（3）可得。故应选（A）评注：设是一阶线性非齐次微分方程的解，则对于常数，有下列结论：⑴若，则是方程的解；⑵若，则是方程的解。（3）【分析】本题主要考查导数的应用.求的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。【详解】令，则,由是的极值知。于是有，由于,要使,只要.因此应选(B)（4）.【分析】计算两两比的极限便可得

7、到答案【详解】因为,,由此可知当充分大时,，故应选（C）。(5)【分析】本题考查向量组的线性相关性。【详解】因向量组能由向量组线性表示，所以，即若向量组线性无关，则，所以.故应选(A).评注：“若线性无关且可由线性表示，则”这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.(6)【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。【详解】由于，所以，由于的秩为3，所以不可逆，从而，所以是矩阵的特征值。假设是矩阵的特征值，则，则只能是或。由于是实对称矩阵，且的秩为3，所以其全部特征值为，因此应选（D）

8、(7)【分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。【详解】由分布函数的性质可知：故应选（C）(8)【分析】考查概率密度的性质①，②【详解】由已知可得：，由概率密度的性质可知：所以因此应选（Ａ）二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)（9）【分析】先由方程求出时，再两边对求导或两边微分。【详解】法一