2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题(答案解析

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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题(答案解析在后面)一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）（B）（C）（D）【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当时，但而不是故应该选（D）．2．函数的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】当时，，，所以是函数的可去间断点．，所以是函数的可去间断点．，所以所以不是函数的可去间断点．故应该选（C）．３．设是圆域的第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）【详解】由极坐标系下二重

2、积分的计算可知所以，应该选（B）．４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A）若，则收敛；（B）若收敛，则；（C）若收敛．则存在常数，使存在；（D）若存在常数，使存在，则收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向

3、量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A）（B），为任意常数（C）（D），为任意常数【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．从而可知，即，为任意常数，故选择（B）．7．设是随机变量

4、，且，，则（A）（B）（C）（D）【详解】若，则，，，．故选择（A）．8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则（）（A）（B）（C）（D）【详解】，故选择（C）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．设曲线和在点处有切线，则．【详解】由条件可知．所以10．设函数是由方程确定，则．【详解】设，则，当时，，所以．11．．【详解】12．微分方程的通解为．【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数．13．设是三阶非零矩阵

5、，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=．【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知，所以可能为或0．但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以14．设随机变量X服从标准正分布，则．【详解】．所以为．三、解答题15．（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数．【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当时，，，，所以，由于与是等价无穷小，所以．16．（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．【详解】由微元法可知；；由条件，知．17．（本题满分10分）设平面区域D

6、是由曲线所围成，求．【详解】．18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】（1）设利润为，则，边际利润为（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令，得19．（本题满分10分）设函数在上可导，，且，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在，使得．【详解】证明（1）由于，所以存在，

7、当时，有，又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得．20．（本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．【详解】显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设，则变形为，即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得．此时，，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为，其中为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型．记．（1）证明二次型对应的矩阵为；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标

8、准形为．【