从自行车的平衡谈起

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1、从自行车的平衡谈起机16010756周峰小时候我对两个轮的自行车竟然能保持平衡并平稳前进感到实在不可思议，进入高中我学了受力分析，就有了以下答案：SGF自行车NO解释：处于倾斜状态的自行车不会倒下是因为它在重力、摩擦力、支持力和惯性力作用下平衡，满足以下平衡方程：水平方向：S＝F竖直方向：G＝N对O点的力矩：（S*l*sinα）/2＝（G*l*cosα）/2（其中l为竖直时的自行车高度，α为此时自行车倾角）但这只能解释自行车瞬间为何不倒，对自行车为何左转、右转而始终平稳前进的动态分析还不能很好解释。前些日子我对这个问题有了新的思考，原来自行车在前进中是

2、靠进动来保持稳定的：前进时自行车车轮的角速度指向人的左侧，设车身稍微向左倾斜，重力矩指向后方，由于车轮回转，自行车并不向重力矩屈服，车轮进动。进动方向应使车轮角速度的方向靠拢重力矩的方向，即车轮左转。当然只有前轮可以这样进动，前轮左转后，自行车就左转弯，结果出现向右的离心力S，车身本来稍稍向左倾斜，于是得到校正，车身竖直。同理可以解释向右倾斜的情况。可见，稳定的原因在于：进动所引起的回转力矩支持这它，使它不倾斜而倒下去。自行车是倾斜的，使我想到了倾斜着身子绕太阳旋转的地球，使我想到了以前地理书上讲的“岁差”问题——春分和秋分两分点在黄道带上的位置在慢慢

3、向西漂移（两分点也在进动）。也就是说地球在公转、自转的同时也在绕着过其中心垂直于黄道面的轴进动，如图：进动轴天极地轴天球赤道黄道由于地球迎着太阳进动，从春分到秋分的时间（太阳年）就小于实际上的公转周期——恒星年，人们如果仍以恒星年纪年，实际的季节就会提早到来，虽然每年提早的很少，但逐年积累下来，历书上的季节就于实际上的季节越差越大，所以必须对历书校订。岁差的原理：地轴F1地球O太阳F2太阳对球形的地球的作用力作用在质心，是没有力矩的。但地球不是严格的球形，地球是赤道半径大于两极半径的扁球体，考虑太阳对地球凸出部分的力矩：夏天，太阳直射北半球，两凸出部分

4、受力如图，作用点到地球中心o的距离分别R1，R2，力矩分别：M1＝R1×F1M2＝R2×F2其中：R1＝－R2。合力矩M＝M1＋M2＝（F2－F1）×R1。此时，上部的凸出离太阳远，受力F1，下部的凸出离太阳远，受力F2，由万有引力定律：F＝GMm/r2得出：F10，方向垂直纸面向外。冬天，分析类似，仍有M>0，方向垂直纸面向外虽然两部分凸出到太阳的距离相对于日地距离相差很小，但正是这两者之间的很小差距使得地球发生进动，地球在围绕地轴旋转的同时，随地轴围绕过其中心垂直于黄道面的轴旋转，进动速率：Ω=M/（L*sin23.5°）其中：L为

5、地球对地轴的角动量，J为地球对地轴的转动惯量，为地球自转角速度，则L＝J*ω查阅有关资料：天文观测到Ω约为50秒每年，招此推算，地球进动一周要26000年，12000年后人们将以织女星为北极星。又查得J＝8.05×1037kg·m2，ω＝2π/（24*3600）rad/s，则可以估算：M＝1.79*1022N·m原来地球本身就是一个巨大的回转仪！自然界中圆（球）形代表着完美，那么又为什么地球偏偏是扁圆球形的呢？假设太阳系形成初期，地球是一团球形云，考虑在这团云边缘的一个粒子的能量和角动量就可以反应地球的发展演变情况。设此粒子质量m，球形云的质量M，球半

6、径r，粒子的势能：Ep＝－GMm/r粒子的角动量：L＝mvr，故v=L/(m*r),则粒子的动能Ek＝L2/(2m*r2)粒子总能量E＝Ep+Ek＝－+L2/(2m*r2)粒子最终处于稳定，则能量变化率最小，即dE/dr＝0=-L2/(m*r2)+GMm/r2则最小稳定半径r＝L2/GMm2在引力的相互吸引下，球形云团向一点收缩，在赤道方向上收缩，但由于角动量守恒，云团不能一直收缩进去，而会落在一个圆形轨道上（上述r）；而在垂直方向上可以一直收缩而不增加动能，因此，在赤道方向上达到收缩极限后垂直方向上还能继续下去，直到粒子间的斥力使之停止，结果最后形成

7、的地球两极半径小于赤道半径，成扁球状。（完）参考书目：《力学世界－力学和热学导论》『美』RichardP.Olenick等著