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1、圆一、基础知识（一）基本概念1.平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹(集合)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.2.曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数,即,且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在曲线上曲线的参数方程是,或参数方程的曲线是.记作曲线.（二）圆的方程1．标准方程圆心为,半径为的圆方程为.2．一般方程(1)令,,,则可化为.①当时,方程不表示任何曲线.②当时,方程的曲线是一个点.③当时,方程表示以为圆心,为半径的圆.此时,方程叫做圆的一般方程.(1)关于的二元二次方程的曲线是圆1．参数方程(1)令,由,可得,于是.(1)以为圆心,为半径的圆的参数方程是
2、.（一）根据圆的方程研究圆的性质1．单个圆自身的性质(1)范围:由,得,.(2)对称性①圆心是圆的中心.②过圆心的任意直线都是圆的对称轴.2．点与圆的位置关系(1)判定①点在圆上.②点在圆内.③点在圆外.(2)性质①若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是.②若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是.③若点在圆内,则(a)过和的弦最长;(b)垂直的弦最短.④若点在圆外,过作直线交圆于两点,作直线与分别与圆相切于点和,则(a);(b);(c)直线的方程为.1．直线与圆的位置关系(1)判定①直线与圆相离.②直线与圆相切.③直线与圆相交.(1)性质①若直线与圆相离,是上的点,是圆上的点,则
3、.②若直线与圆相交于、两点,是的中点,则(a);(b);(c).1．圆与圆的位置关系(1)判定①圆与圆相外离.②圆与圆相外切.③圆与圆相交.④圆与圆内切.⑤圆与圆内含.(2)性质若圆与圆相交于、两点,则①;②直线的方程为;③经过、两点的任意圆(除圆)的方程都可表示为.[共弦圆系]（一）基本方法(1)将参数方程化为普通方程①求函数值域和函数的值域;②从中消去参数得普通方程.(2)求圆的方程①待定系数法②定义法(3)直线与圆相交①先设出交点的坐标、和的中点,②用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,①用垂径定理()来解决有关的问题.特别地有弦长公式.一、基本例题例1(1)圆的圆心为
4、,半径.(2)圆的圆心为,半径.(3)圆的圆心为,半径.(4)曲线的普通方程为.(5)曲线的普通方程为.(6)曲线的普通方程为.(7)曲线的普通方程为.(8)曲线的普通方程为.(9)曲线的普通方程为.(10)曲线的普通方程为.(11)曲线的普通方程为.(12)曲线的普通方程为.(13)曲线的普通方程为.(14)曲线的普通方程为.(15)曲线的普通方程为.例1求圆的方程：（1）截轴所得弦长为,被轴分成两段圆弧长的比为,且圆心到直线的距离最小的圆的方程为.（2）若过点和,且与轴相切的圆有且仅有一个,则,此时圆的方程为.（1）与轴相切,圆心在直线上,且被直线所截得的弦长为的圆的方程为.
5、（2）过点,半径为,且在该圆内以为中点的弦长为的圆的方程为.（3）经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程为.（4）圆心为,且与圆的公共弦所在的直线过点的圆的方程为.（5）与圆关于直线对称的圆的方程为.（6）圆心为,且与直线相切的圆的方程为.（7）过三点的圆的方程为.（1）经过两点和,且圆心在轴上的圆的方程为.（2）经过两点和,且圆心在直线上的圆的方程为.（3）过点,且与直线相切于点的圆的方程为.（4）圆心为,被直线所截得的弦长为的圆的方程为.（5）与轴相切于点,且在轴上截得的弦长为的圆的方程为.（6）过点,圆心在直线上,且与直线相切的圆的方程为.（7）过原点,且与直线及圆都相
6、切的圆的方程为.（8）与圆关于点对称的圆的方程为.（9）与圆关于直线对称的圆的方程为.（1）若三角形的顶点为,则其外接圆的方程为,内切圆的方程为.（2）若三角形三边所在直线方程为,则其外接圆的方程为.例1求轨迹方程（1）已知直线与圆相离，点在直线上，过点作圆的切线，两切点分别为和，证明：不论点在直线上怎样移动，直线总过一定点。（2）圆的圆心的轨迹方程是.（3）与圆相外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为.（4）若,是圆上的两个动点,,则中点的轨迹方程是.（5）过点作圆的切线,若,则点的轨迹方程为.（1）若直线与圆相交,则点在圆.(外、上、内)。（2）若点在圆内且不为圆心,则直线与圆
7、相.（3）若实数满足,则①;②;③.（4）过点作圆的切线(为切点)，则①切线长,弦长,;②切线、的方程为;③弦所在直线的方程为.（5）若圆上恰有三点到直线的距离等于,则.（6）若直线与曲线有两个不同的交点,则.（7）若直线与曲线交于两点,的倾角分别为,则.（1）从点发出的光线经轴反射,若反射光线所在的直线与圆相切,则光线所在的直线的方程为.（2）若斜率为的直线与圆交于两点,且以为直径的圆过原点,则直线的方程为.（3）若直线与圆交于两点,且,则.（4）若直线与圆交于两点,且,则.（
