丰富多彩的有理数竞赛题

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1、.丰富多彩的有理数竞赛题现以2000年、2001年第十二届，第十三届“五羊杯”（广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。例18642097531、6420875319、4208653197、2086431975、864219753的平均数是（）。（A）4444455555（B）5555544444（C）4999999995（D）5999999994解注意已知五个数的特点：右起1至5位每位数字之和为1+3+5+7+9=25，6至10位每位数字之和为0+2+4+6+8=20，于是五个数的平均数为4444455555。选A。例2已

2、知689□□□20312≈690亿（四舍五入），那么其中三位数□□□有（）种填写的方法。（A）1000（B）999（C）500（D）499解可填500，501，502，…，999，共500种填法。选C。例3不超过700π（π是圆周率）的最大整数是（）。（A）2100（B）2198（C）2199（D）2200解∵3.1415<π<3.1416，故2199.05<700π<2199.12。所以应选C。例4（0.1+1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9）÷（0.01+0.03+0.05+0.0二次根式【内容综述】　　一般地，式子叫做二次

3、根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质：　　（1）。　　（2）【要点讲解】....　　在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。　　★★例1、化简.　　思路通过分类讨论去掉根号。　　解原式　　　　　　　　　　　　例2、化简　　思路用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。　　解设11-6（　　则　　所以　　解得或　　　　说明本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。　　★★★例3、分母有理

4、化。....　　★★★例4化简　　思路对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。　　解法1原式=　　　　　　　＝　　　　　　　　　解法2原式　　　　　　　说明对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。　　★★★例5若。思路先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。....　　　　说明本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。　　　　★★★例6设的整数部分为a，小数部分为b，求a-b（2b+1）

5、的值。　　　★★★★例7化简....　　　　　　由　　当时,　　　　　　当n<-2（除n=-2,因它使分母为零）时,　　　　=-,　　,∴　　　　=　　=　　　　★★★★例8设　　且,　　求的值。　　解：设显然k≠0，则....　　　　由已知得　　　　即　　　　　　∴　　由已知得　　∴说明：当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。★★★★例9设。则与S最接近的整数是多少？思路：所求式的各项的特征都相同，故可先研究每项的一般形式的结构，即所谓“通项的结构”。　　解：当n为整数时，有　　　　　　　　　　　　　　　

6、=　　　　　　　　　　　=　　　　　　　　　　　=　　....　　∴　　　　　　　　故与X最接近的整数是1999。　　说明：如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。强化训练A级　　★★1、___________　　★★★2、若则_____________　　★★★3、若0

7、　★★★8、已知化简参考答案A级　　1、-2　　提示：原式=　　　　　　=　　2、7　　提示：　　∴　　∴　　3、　　提示：原式=　　，∴，∴原式=　　4、1152　　提示：由条件知所以从而，　　原式=　　　　=　　　　=　　5、2....提示：　　　　　　　　　　=　　6、提示：原式=　　　　　=　　　　　=　　7、10或14　　提示：已知条件的两边平方得，　　又由题设知是自然数，且或　　当时，这时当时，，　　这时。　　8、或由得.所以因为所以若a>0>b,原式=-ab；若a<0

8、实数根，则，。　　这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和