由一道高考模拟题想到的

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1、由一道高考模拟题想到的　　摘要：中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，以方程的观点研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题速度，以至于被迫中止解题过程.特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量地完成解题任务，计算能力是考查的一个重要方面.探索减小运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程显得非常重要.　　关键词：解析几何减少运算量高考模拟题　　笔者在高三复习时遇到这样一道模拟题：　　如图，已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线+=1的两条渐近线为l，l.过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l，又l与l

2、交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.　　（Ⅰ）若双曲线的离心率为且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；　　（Ⅱ）求的最大值.　　本文以第（Ⅱ）问为例，按照解析几何的常规做法如下：　　解：（Ⅱ）l∶y=（x-c）与椭圆C：+=1联立整理得：（a+b）x-2cax+a（ac-b）=0.　　由求根公式得x==.　　l∶y=（x-c）与l∶y=x联立，可求得P（，），　　∴====.4　　令t=∈（0，1），　　则===≤=-1，（当t=-1时取等号）　　∴的最大值为-1.　　总结：这种做法运算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此种解法并没有用到在解解析几何

3、题经常使用的“设而不求”的方法，比如韦达定理，“点差法”等.从减少解析几何运算量的角度来说，此种解法中“设点并求”是不太可取的一种方法，不到万不得已不用.那么是不是除了这种“通法”外，此题就没有其他减小运算量的方法呢？　　联想平时在计算解析几何题时用的一些减小运算量的小“技巧”，笔者试着从以下角度分析求解本题：　　1.改变设法　　另解1：（Ⅱ）l∶y=y+c与椭圆C：+=1联立整理得：（a+b）y+2abcy-ab=0.　　由求根公式得y==.l：x=y+c与l：x联立，可求得P（，），∴===（后同原解）.　　总结：当已知直线的横截距时，设直线为x=ty+m型往往会收到意

4、想不到的效果.另外，此题在求线段比时将其投影到y轴，可以减少一个点的坐标的运算.不要小瞧这“一小步”，对于较复杂的解析几何题来说这是“一大步”.　　2.巧用向量　　另解2：令=λ，则=λ，　　由原解知P（，），进而x===y===将其代入椭圆C：+=1得：（c4+λa）+λab=ac（1+λ），　　整理得：∴λ=（后同原解）.　　总结：向量本身就是一种工具，此种解法正是利用这个有效工具，进而得到点的坐标，再利用在椭圆上这一条件得出结论，给人一种顺理成章，一气呵成的感觉.　　3.活用平几　　另解3：过P作x轴的垂线交x轴于C，过A作PC轴的垂线交PC轴于A.记l与l的交点为D

5、，则O、P、C、D四点共圆，　　∴∠APA=∠DOF，∴=.　　由原解知P在椭圆的右准线上，则=e，　　∴===esin∠DOF.　　又tan∠DOF=，∴sin∠DOF=，　　∴==（后同原解）.　　小结：以上解法借助圆的几何性质解题，令人拍案叫绝.采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范.　　以上共介绍了三种解析几何中常用的减小计算量的方法.其实，在解决解析几何问题时，减小计算量的方法还有很多，比如设而不求、点差法、三角代换、极坐标、参数方程、使用特值等，并且不同的题目会有不同的处理办法，只要在平时的练习中多实践、多总结，就能够以简驭繁、事半功倍

6、，使解题思路构筑在较高的层面上.　　参考文献：　　[1]谢全苗.论数学求简精神的培养.数学通报，2004.2.4　　[2]成军.用平面向量巧解一题.中学数学，2006.5.4