过一点求曲线的切线方程的三种类型

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1、过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线上一点，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率，后写出切线方程=，并化简﹒例1求曲线在点处的切线方程﹒解：由题设知点在曲线上，∵，∴曲线在点处的切线斜率为，所求的切线方程为，即﹒2.已知曲线上一点，求过点的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点一定为切点，事实上可能存在过点而点不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次

2、曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为，先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率（用表示），写出切线方程=，再将点坐标代入切线方程得=，求出，最后将代入方程=求出切线方程﹒例1求过曲线上的点的切线方程﹒解：设切点为点，，切线斜率为，切线方程为﹒又知切线过点，把它代入上述方程，得﹒解得，或﹒所求切线方程为，或，即，或﹒上面所求出的两条直线中，直线是以为切点的切线，而切线并不以为切点，实际上它是经过了点且以为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3.已知曲线外一点，求过点作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同

3、上面第二种类型﹒例3过原点作曲线的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编）解：由题设知原点不在曲线上，设切点坐标为，，切线斜率为（），切线方程为：﹒又知切线过点，把它代入上述方程，得﹒整理得：﹒解得，或﹒所求切线方程为：或﹒练习：1.求曲线在点处的切线方程﹒2.求过曲线上的点的切线方程﹒3.过点作抛物线的切线，求切线方程﹒答案：1.；2.或；3.或﹒