数学的奇异美

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1、数学的奇异美  【摘要】数学的美是千姿百态、引人入胜的.奇异美主要表现在奇特、巧妙、非常规和突变,让人体验到数学的神奇与美丽.  【关键词】虚数;实数;级数;数列  培根说“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异”.数学公式的简洁、结果的突变、解法的独特等,无不蕴含着数学的奥妙与魅力,展现出奇异之美!  1.五个最常用数的神奇聚集  在复数的三角形式eiθ=cosθ+isinθ中,当θ=π时,eiπ=-1,于是有eiπ+1=0,这就是著名的欧拉公式.它漂亮简洁地把数学中五个最常用、最基本、最重要的数1,0,π,e,i聚集在一起,巧妙神奇地体现了数

2、学的奇异之美.  美国数学史家克莱因说:没有一个人像欧拉那样多产,像他那样巧妙地把握数学;也没有一个人能以采集和利用代数、几何分析的手段去产生那么多令人钦佩的结果.如今以欧拉命名的定理、方程、公式多不可数,克莱因认为,eiπ+1=0是整个数学中最卓越的公式之一.  2.ii竟是实数  我们知道,i是虚数单位,即i2=-1,i=-1.关于虚数有很多迷人的性质,如ii竟是实数,这一结论确实让人质疑,但欧拉公式eiπ+1=0可以证明它.由欧拉公式有eiπ=-1,于是eπ2i=-1=i,所以ii=(eπ2i)i=e-3π2是一个无理数.易知i-i和ii都是实

3、数,因为i-i=eπ2,ii=i1i=i-i=eπ2.  3.调和级数1+12+13+…+1n+…却是无穷大  对调和级数虽有limn→∞1n=0,但却有limn→∞1+12+13+…+1n+…=∞.  事实上,关于调和级数有关系式limn→∞(1+12+13+…+1n-lnn)=c(c是欧拉常数0.577216…),也即limn→∞1+12+13+…+1nlnn=1.  即当n→∞时,1+12+13+…+1n与lnn是等价无穷大.  4.级数1+122+132+…+1n2+…=π26  级数1+122+132+…+1n2+…的每一项都是有理数,但其

4、和却是无理数π26.因为sinx的麦克劳林展式为sinx=x-x33!+x55!-x77!+x99!-….  于是sinxx=1-x23!+x45!-x67!+x89!-….  欧拉认为sinx=0有无限多个根:x=0,±π,±2π,±2π,±4π,….  于是sinxx=0也有无限多个根:x=±π,±2π,±2π,±4π,….  可以得到:sinxx=1-x23!+x45!-x67!+x89!-…=(1-x2π2)(1-x24π2)(1-x29π2)….  这是一个无穷多项和等于无穷多项积的方程,把无穷多项的积算出来,再比较两边x2的系数,就可以得

5、到13!=1π2+14π2+19π2+…,也就可求出1+14+19+…+1n2+…=π26.这是极其独特和谐、令人吃惊的等式,其推导方法也是极其巧妙的!  5.整数数列通项公式的无理表达3  假定一对幼兔(雌雄各一个),幼兔出生后第二个月就长为成兔,有生殖后代的能力,每月生一对小兔(雌雄各一个),那么这一对兔子如此繁殖,第n个月兔子繁殖的总数是多少?  分析题意,可得一对兔子如此繁殖,每月兔子总数依次是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,….  这个无限数列就是著名的斐波那契数列,其中每一项叫做一个裴波那契数

6、.若用un表示数列的第n项,则有un=un-1+un-2,进而可推出un=151+52n-1-52n,它是裴波那契数列的通项公式.一个有理数列的通项公式却由一个无理数表示,且形式极其对称与和谐,无不让人感到奇妙!  数学公式、结论、解题方法等中呈现的数学的奇异美,可谓美不胜收,让人为之赞美,为之陶醉!3

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