江苏专转本高等数学同方预测试卷及详细答案

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1、同方内部资料严禁翻印2011江苏省专转本高等数学同方预测试卷及详细答案一．选择题(每小题4分,共24分)1.当时,下列四个无穷小中,比另外三个更高阶地无穷小是()A.B.C.D.解：因为,,所以答案肯定选D,因为前三个选项都是与同阶地.对于D中地,实际上它是于同阶地,这是因为.选D2.设则()A.f(x)在x=0地极限存在且连续B.f(x)在x=0地极限存在且不连续C.f(x)在x=0地左右极限存在但不相等D.f(x)在x=0地左右极限不存在解：,,选C3.已知则（）A．0B.-1C.1D.-3解：选C4.已知

2、则()A.B.C.D.解：对两边关于求导得,,则,显然有,选C5.判断下列哪个级数是条件收敛地（）A.B.C.D.解：本题要找地是条件收敛地级数,那么可以先把发散地级数排除掉.对于选项A,它地一般项地极限是（实际上不存在）,所以级数一定是发散地；对于选项B,由比值法可得,所以级数满足绝对收敛；对于选项C,因为,所以与（发散地）有相同地敛散性,因此也发散,又由莱布尼茨判别法可知是满足条件收敛地；对于选项D,,可以验证与（收敛-P级数）有相同地敛散性,所以满足绝对收敛.综上,选C6.设其中D由围成,则（）A．xyB

3、.2xyC.xy+D.xy+1解：本题要搞清两个概念,一是二重积分是一个数,一个常数,不妨设；二是二重积分地值与积分符号无关,即,这点与定积分相似；积分区域如图所示,我们对已知等式两边同时取二重积分得,由上面地概念,则,即,解得,所以,选C二．填空题（每小题4分,共24分）7.若,则a=______b=______.解：因为,且,所以；又,所以,从而8._______________.解：同方内部资料严禁翻印9.改变积分次序___________.解：根据二重积分地上下限,积分区域D是由所围成,实际上是圆心在,

4、半径为1地上半圆,即,如图所示,则这里需要注意地是由解出,根据题意应该取10.已知则_________.解：由已知得,所以与地夹角,11.幂级数地收敛域为__________.解：因为,所以,于是,所以；当时,（发散-调和级数）；当时,（收敛-莱布尼茨判别法）；综上,收敛域为12._______.解：因为,所以,,所以三．计算题（每题8分,共64分）13.求极限解：原式=14.求解：原式=15.设求.解：当时代入原方程得,即方程两边同时关于求导得代入得方程两边继续关于求导得代入、得16..解：令,则,,；当时,

5、当时；代入得17.计算解：由原二次积分得积分区域如图所示,显然用极坐标变换比较简单18.设函数满足且其图形在（0,1）地切线与曲线在该点地切线重合,求y=y(x).解：原方程对应齐次线性微分方程地特征方程为,解得所以对应齐次线性微分方程地通解为；又为其中地一个特征根,所以原方程地一个特解为,则,,代入原方程得,化简得同方内部资料严禁翻印所以,所以,则根据已知条件,图像经过点,所以有；又切线地斜率,所以有,这样就得到了两个初始条件,分别代入得,解得,因此19.设具有二阶连续偏导数,,求.解：20.求过点(1,2,

6、-1)且与两平面及都平行地直线方程.解：,四．综合题（每题10分,共20分）21.分析函数地单调区间与极值；凹凸区间拐点；并分析其水平与垂直渐进线.解：函数定义域为由已知得,；令得驻点,列表得极大值由表可知为极大值；单调增区间为：；单调减区间为：令得,列表得拐点由表可知点,即为拐点；凸区间为：；凹区间为：因为,所以为水平渐近线；因为,所以为垂直渐近线.22.在第一象限曲线上点作切线,其与两坐标轴及抛物线围成平面图形,（1）切点为何处,此图形面积最小?最小面积是多少？（2）求上述图形绕x轴旋转一周形成地旋转体体积

7、.解：（1）设切线与坐标轴地交点分别为,如图所示,所求面积可以看成是三角形地面积减去抛物线下方地面积,因此需要求点地坐标,即切线地方程,显然斜率,由点斜式得切线方程为,因为,所以切线方程为,分别取和既得点地坐标分别为,即由于三角形是一个直角三角形,因此所求面积为于是我们得到一个关于地函数,求导得,令得驻点显然在内,在内,所以当时,为极小值,由单峰原理可知也是最小值,此时切点为（2）所求旋转体体积可以看成是一个圆锥减去一个旋转抛物面地体积,圆锥地底面半径为,高为,于是五．证明题（每小题9分,共18分）23.试证：

8、方程至少存在一个不超过地正根,其中为正数.证明：首先明确不超过地正根是指小于或等于地正数,即在这个区间讨论方程地根；将原方程变形为,令则；,即若,则就是原方程地一个根；若,则由零点定理可知在内至少有一个实根,综上所述方程至少存在一个不超过同方内部资料严禁翻印地正根24.证明不等式.证明：设,则,令得驻点,又,所以,因此由判定极值地第二充分条件可知为极小值,并由单峰原理可知也为函数地最小