2011江苏省专转本高等数学同方预测试卷及详细答案

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1、同方内部资料严禁翻印2011江苏省专转本高等数学同方预测试卷及详细答案一．选择题(每小题4分,共24分)1.当时,下列四个无穷小中,比另外三个更高阶的无穷小是()A.B.C.D.解：因为，，所以答案肯定选D，因为前三个选项都是与同阶的。对于D中的，实际上它是于同阶的，这是因为。选D2.设则()A.f(x)在x=0的极限存在且连续B.f(x)在x=0的极限存在且不连续C.f(x)在x=0的左右极限存在但不相等D.f(x)在x=0的左右极限不存在解：，，选C3.已知则（）A．0B.-1C.1D.-3解：选C4.已知则()A.B.C.D

2、.解：对两边关于求导得，，则，显然有，选C5.判断下列哪个级数是条件收敛的（）A.B.C.D.解：本题要找的是条件收敛的级数，那么可以先把发散的级数排除掉。对于选项A，它的一般项的极限是（实际上不存在），所以级数一定是发散的；对于选项B，由比值法可得，所以级数满足绝对收敛；对于选项C，因为，所以与（发散的）有相同的敛散性，因此也发散，又由莱布尼茨判别法可知是满足条件收敛的；对于选项D，，可以验证与（收敛-P级数）有相同的敛散性，所以满足绝对收敛。综上，选C6.设其中D由围成，则（）A．xyB.2xyC.xy+D.xy+1解：本题要

3、搞清两个概念，一是二重积分是一个数，一个常数，不妨设；二是二重积分的值与积分符号无关，即，这点与定积分相似；积分区域如图所示，我们对已知等式两边同时取二重积分得，由上面的概念，则，即，解得，所以，选C二．填空题（每小题4分,共24分）7.若，则a=______b=______.解：因为，且，所以；又，所以，从而8._______________.解：同方内部资料严禁翻印9.改变积分次序___________.解：根据二重积分的上下限，积分区域D是由所围成，实际上是圆心在，半径为1的上半圆，即，如图所示，则这里需要注意的是由解出，根

4、据题意应该取10.已知则_________.解：由已知得，所以与的夹角，11.幂级数的收敛域为__________.解：因为，所以，于是，所以；当时，（发散-调和级数）；当时，（收敛-莱布尼茨判别法）；综上，收敛域为12._______.解：因为，所以，，所以三．计算题（每题8分，共64分）13.求极限解：原式=14.求解：原式=15.设求。解：当时代入原方程得，即方程两边同时关于求导得代入得方程两边继续关于求导得代入、得16.。解：令，则，，；当时，当时；代入得17.计算解：由原二次积分得积分区域如图所示，显然用极坐标变换比较简

5、单18.设函数满足且其图形在（0，1）的切线与曲线在该点的切线重合，求y=y(x).解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为，解得所以对应齐次线性微分方程的通解为；又为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为，则，，代入原方程得，化简得同方内部资料严禁翻印所以，所以，则根据已知条件，图像经过点，所以有；又切线的斜率，所以有，这样就得到了两个初始条件，分别代入得，解得，因此19.设具有二阶连续偏导数，，求。解：20.求过点(1,2,-1)且与两平面及都平行的直线方程。解：，四．综合题（每题10分，共20分）21.分析函数的单调区间

6、与极值；凹凸区间拐点；并分析其水平与垂直渐进线。解：函数定义域为由已知得，；令得驻点，列表得极大值由表可知为极大值；单调增区间为：；单调减区间为：令得，列表得拐点由表可知点，即为拐点；凸区间为：；凹区间为：因为，所以为水平渐近线；因为，所以为垂直渐近线。22.在第一象限曲线上点作切线，其与两坐标轴及抛物线围成平面图形，（1）切点为何处，此图形面积最小?最小面积是多少？（2）求上述图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积。解：（1）设切线与坐标轴的交点分别为，如图所示，所求面积可以看成是三角形的面积减去抛物线下方的面积，因此需要求点的坐标

7、，即切线的方程，显然斜率，由点斜式得切线方程为，因为，所以切线方程为，分别取和既得点的坐标分别为，即由于三角形是一个直角三角形，因此所求面积为于是我们得到一个关于的函数，求导得，令得驻点显然在内，在内，所以当时，为极小值，由单峰原理可知也是最小值，此时切点为（2）所求旋转体体积可以看成是一个圆锥减去一个旋转抛物面的体积，圆锥的底面半径为，高为，于是五．证明题（每小题9分，共18分）23.试证：方程至少存在一个不超过的正根，其中为正数。证明：首先明确不超过的正根是指小于或等于的正数，即在这个区间讨论方程的根；将原方程变形为，令则；，

8、即若，则就是原方程的一个根；若，则由零点定理可知在内至少有一个实根，综上所述方程至少存在一个不超过同方内部资料严禁翻印的正根24.证明不等式。证明：设，则，令得驻点，又，所以，因此由判定极值的第二充分条件可知为极小值，并由单峰原理可知也为函数的最小