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1、期权理论的核心是期权定价问题-->摘要:期权是最重要的金融衍生工具,期权理论的核心是期权定价问题?对于美式期权的价格,不存在解析公式也无法求得精确解?因此,研究各种计算美式期权价格的数值方法具有重要意义?研究美式股票看跌期权定价问题的差分方法?对美式期权所遵循的变分不等式方程建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析,并给出最优阶误差估计?数值计算表明该算法是一个高效和收敛的算法?期权是最重要的金融衍生工具之一,它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利?对于欧式期权,Black和Scholes早已给出解析形式的定价公式[1
2、,2]?然而,对于美式期权的价格,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解?因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义?美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程?在文献[3]中已经讨论了美式股票期权定价问题的有限元方法?本文将进一步研究相应问题的有限差分方法,建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,论证了差分解的存在唯一性和稳定性,并给出了最优阶误差估计?最后,用数值计算例验证了本文方法的有效性?为明确起见,本文假定期权的标的资产为股票?用S表示股票价格,E为期权的执行价格,P为期权价格,T为期权执行日期,σ为股票价格的波动率,r为无风险利率(假
3、定为常数)?进一步假设世界是风险中性的,在期权有效期内股票无红利支付?在这样假设下,美式股票看跌期权的价格P=P(t,S)将满足如下线性互补偏微分方程[4]Pt+12σ2S22P2S+rSPS-rP×(P-G(S))=0,(1)Pt+12σ2S22P2S+rSPS-rP≤0,P≥G(S),(2)G(S)=max(E-S,0), 0≤S≤∞,0首先考虑到股票价格S既不可能上升为无限大,也不可能下降为零,因此可限制变量x∈[-a,a],a>0充分大?又由于当股票价格S远大于执行价格E时,看跌期权价格P(t,S)=0,因此可令u(τ,a)=0?其次,原问题(1)~(3)于自由边值问题,也即存在自
4、由边界S*=S*(t)>0,且当0≤S-->稳定的,即‖un‖a≤‖u0‖a,n="0,1,…,M?证明 在方程(17)中取V=(Un+Un+1)/2∈ΩN,利用柯西不等式得到‖Un-Un-1‖2+12Δt‖Un‖2A≤12Δt×(AUn,Un-1)≤12Δt‖Un‖A‖Un-1‖A,由此推得定理2结论成立?设精确解u(t,x)在tn时间层的节点值向量un=(u(tn,x0),…,u(tn,xN-1))T,误差向量εn∈(εn0,…,εnN-1)T?那么由方程(9)~(11),完成类似定理1的证明,可知un∈ΩN,u0=G满足(un-un-1+ΔtAun+εn,v-un)≥0,"v∈Ωn?(
5、19)定理3 设u(t,x)为问题(5)~(7)解,=""unj为(12)~(14)定义的差分近似解,则成立如下误差估计‖un-un‖h≤2at1(Δt=""2+=""h2=""12)×maxt,x(
6、=""utt(t,x)=""
7、+
8、=""u(4)x(t,x)=""
9、),n="1,2,…,这里‖un‖h=∑N-1j=0h"
10、=""unj
11、2表示离散l2-范数?证明 记误差向量en="un-Un,则有(en,en)+Δt(Aen,en)"(un,un-un)+Δt(aun,un-un)-(un,un-un)-Δt(aun,un-un)?(20)由un和un所满足的方程(17)和(19)可知(
12、un,un-v)+Δt(aun,un-v)≤(un-1-Δtεn,un-v),v∈Ωn,=""(21)(un,un-v)+Δt(aun,un-v)≤(un-1,un-v),v∈Ωn,=""(22)在式(21)和(22)中分别取v="Un,V=un结合式(20)~(22)得到‖en‖2+Δt‖en‖2A≤(un-1-Δtεn,en)-(Un-1,en)"(en-1,en)-Δt(εn,en)≤(‖en-1‖+Δt‖εn‖)‖en‖?由此式得到‖en‖h≤‖en-1‖h+Δt‖εn‖h,n=1,2,…关于n求和,注意e0=0,nΔt≤T1,得到‖en‖h≤Δt∑nk=1‖εk‖h≤T1max1≤
13、k≤n‖εk‖h,由式(8)且注意hN=2a,可得到‖εn‖h≤2a(Δt/2+h2/12)×maxt,x(
14、utt(t,x)
15、+
16、u(4)x(t,x)
17、),从而定理3得证?3 数值计算例考虑由差分方程导出的线性变分不等式方程(17)的求解?为了处理x0点的边值条件,引进N-1维向量b=Δth2g(x0),0,…,0T?采用投影SOR方法[11]求解变分不等式方程(17),记1-->ofbinomialtre
