【电大毕业论文】线性空间的张量积

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1、【电大毕业论文】线性空间的张量积【摘要】在本文引入线性空间、张量积的定义和性质，并全面地讨论了线性空间张量积的定义和性质，及其在线性空间中的应用。【关键词】线性空间，张量积，双线性映射引言　　张量积，记为，可以应用于不同的领域中如模、拓扑向量、向量空间、向量、矩阵、张量。在各种情况下这个符号的意义是相同的:一般的双线性运算。　　我们经常会遇到“双线性映射”这种定义，比如内积就是一个双线性映射.我们想把“双线性映射”这种性质归属于向量空间范畴。于是，构造一个跟为一个线性空间，为一个映射，称为一个双线性映射，如果对于任意的有　　　　　　定理2.1（张量积的万有性质

2、）设M为任意一个线性空间，如果存在为一个双线性映射，则必存在唯一的为线性映射，使得.用交换图表示如下：　　πE×F　　φψ　　M　　证明首先将按自然方式延拓成为从到M的线性映射：　　　　则　　同理可证N的其它生成元在的作用下也为零，于是存在线性映射,　　使得　　再证唯一性设是E、F的张量积，则由张量积的定义知　　　　　　　　　　　　由上图不难得出，（表示线性空间M的恒等变换）　　同理　　所以，.2.3线性空间张量积的基　　定理2.2设分别为E，F的基，则　　　　为E⊙F的一组基，因此有dim(E⊙F)=dimE·dimF.　　证明(1)对于任意的可设　　于是　

3、　即E⊙F中的所有元素都可以用∧中的元素线性表出.(2)设为一列复数，使得　　　　于是，，其中（2.3.1）　　对于任意的线性泛函定义，则易证：为一个双线性映射，于是存在E⊙F→E为线性映射，使得　　（2.3.2）　　现取为线性泛函，使得　　　　则由（2.3.1）和（2.3.2）知（注意线性无关）　　　　同理可证其它的也都等于零。证明(1)（张量积交换律）(2)（张量积结合律）　　证明设是域F上有限维线性空间，其中分别取基我们有同构映射　　　　　　设分别是的基.定义为显然，即为所要的同构映射.故.　　（2）设,分别是的基.定义　　为.即为所要的同构映射.故.由

4、此可以得出一般形式：在考虑多个线性空间的张量积时，可以不用括弧，设是m个线性空间，则有张量积：