函数极限的性质 毕业论文外文翻译

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1、河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章英文原文：摘自VladimirA.Zorich著的《MathematicalAnalysisI》第111页到114页。3.2.2函数极限的性质在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外，由上面命题1的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列极限的性质的形成而产生的，例如：极限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等式性等。读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质：Ø，即点集的去心邻域是非空的；

2、，也就是说，任意去心邻域的交集都包含某一个去心邻域。这一结论给出了我们函数极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处的讨论不与上述的3.1节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和概念。a.函数极限的一般性质首先，我们给出以下定义：定义4.如前所述，假设函数仅是一个常值函数。取一个函数，当时，如果点是去心邻域上的一个常值，则被称作函数上最终恒定的一个点，即为集合的一个极限点。定义5.函数是有界的，有上界或者是有下界，如果存在一个数，对于所有的，都使得或者成立。如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当时，这个函数就被称为最终有界、最终

3、有上界或者有下界。定理1.a.当时，函数是一个常数。b.存在当时，函数是一个有界常数。c.当时。证明结论a中一个最终的常函数有一个极限，结论b中一个函数有的极限存在，说明这个函数有界，这与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。假设。选取两个互不相交的邻域和，即Ø。由极限的定义我们有,。选取一个（的一个极限点）的一个去心邻域，使得。又Ø，再取。然后就有，由于邻域和互不相交，故不成立。□b.极限的四则运算法则定义6.如果两个数值函数和有一个共同的定义域，它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义：此处。定理2.取函数和函数，使得他们有一个共同的定义域。如果，那么a.；b.

4、；c.。在3.2.2节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题1中给出的数列极限相应定理的直接结果。这个定理也可以通过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小集合中点的去心邻域的范围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同先前涉及到的陈述“从自然数N中取一个数n”。此处为读者自行证明。当时，函数被称作是无穷的，如果函数的极限为零。命题2.a.当时,如果和趋于无穷，那么它们的和也趋于无穷。b.当时,如果和是无穷函数，那么它们的积也是无穷的。c.当时,如果是无穷的，且是有界的，那么它们的积是无穷的。证明a.我们将给出证明如下：。对于任意，利用极限的定义，有，。那么对于去心邻域我们可以

5、得到，这样，我们就证明了。b.这个结论是结论c的特殊情形，因为每一个极限存在的函数都有界。c.给出证明如下。对于任意，利用极限的定义，有。那么对于去心邻域可以得到。这样，我们就证明了。英文原文：3.2.2PropertiesoftheLimitofaFunctionWenowestablishanumberofpropertiesofthelimitofafunctionthatareconstantlybeingused.Manyofthemareanalogoustothepropertiesofthelimitofasequencethatwehavealreadyestabl

6、ished,andforthatreasonareessentiallyalreadyknowntous.Moreover,byProposition1justproved,manypropertiesofthelimitofafunctionfollowobviouslyandimmediatelyfromthecorrespondingpropertiesofthelimitofasequence:theuniquenessofthelimit,thearithmeticpropertiesofthelimit,andpassagetothelimitininequalities

7、.Wecallthereader’sattentiontothefactthat,inordertoestablishthepropertiesofthelimitofafunction,weneedonlytwopropertiesofdeletedneighborhoodsofalimitpointofaset:Ø,thatis,thedeletedneighborhoodofthepointinisnonempty;,Thatis,theinters