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1、-2011中考冲刺数学专题6——综合型问题例题1(2010四川攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点(点P不与点B、C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点。设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。(1)求∠CPQ的度数。(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?(3)当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。例题3(2010浙江义乌)如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为
2、射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F.(1)如图2,当BP=BA时,∠EBF= °,猜想∠QFC=°;(2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明;图1ACBEQFP图2ABEQPFC图1ACBEQFP(3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为y,求y关于的函数关系式.例题4(2010重庆)已知:如图(1),在直角坐标系xOy中,边长为2的等边△的顶点在第一象限,顶点在轴的正半轴上.另一等腰△的顶点在第四象限,,
3、.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒1个单位的速度沿向点运动,点以每秒3个单位的速度沿运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的△的面积与运动的时间之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(2)在等边△的边上(点除外)存在点,使得△为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;(3)如图(2),现有,其两边分别与,交于点,,连接.将绕着点旋转(旋转角),使得,始终在边和边上.试判断在这一过程中,△的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.----例题5(2010甘肃兰州
4、)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).①当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明
5、理由.图1图2例题7(2010四川成都)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.(1)求直线及抛物线的函数表达式;(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;(3)设⊙Q的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?解答:(1)∵沿轴向下平移3个单位后
6、恰好经过原点,∴,。将代入,得。解得。∴直线AC的函数表达式为。∵抛物线的对称轴是直线----∴解得∴抛物线的函数表达式为。(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。∵,∴∴。过点P作PE⊥x轴于点E,∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,∴,∴∴,解得∴点P的坐标为(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为。①当⊙Q与y轴相切时,有,即。当时,得,∴当时,得,∴②当⊙Q与x轴相切时,有,即当时,得,即,解得,∴当时,得,即,解得,∴,。综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。(Ⅱ)设点Q的坐标为。当
7、⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。由,得,即,∵△=∴此方程无解。由,得,即,解得----∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。例题8(2010湖南常德)如图,已知抛物线与轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点,与轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式;(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.解答:(1)由二次函数与轴交于、两点可得:
8、 解得: 故所求二次函数的解析式为.(2)∵S△CEF=2S△BEF,∴∵EF//AC,∴,∴△BEF~△BAC,∴得故E点的坐标
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