第十章曲线积分和曲面积分

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1、-第十章第十章曲线积分和曲面积分 一、一、基本内容 (一)第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分(1)第一型曲线积分的定义若是封闭的,则记作.(2)第一型曲线积分的计算2.第一型曲面积分(1)第一型曲面积分的定义(2)第一型曲面积分的计算(二)第二型曲线积分1第二型曲线积分的定义设,当,,都存在时,其中是的单位切向量,称为一般形式的第二型曲线积分.2.第二型曲线积分的计算3.格林公式及其一些命题(1)格林公式(2)若、、、在单连通域上均连续,则下列四个命题等价:1)只依赖于区域内的起点与终点,而与连结、的积分路径无关;2)在区域上,是某

2、一个函数的全微分,且----点是内的某一定点,点是内的动点;3)在区域上的每一点处都成立;4),其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线.(三)第二型曲面积分1.第二型曲面积分的定义称为一般形式的第二型曲面积分,当是闭曲面时,积分号将写成.2.第二型曲面积分的计算,同理计算,.3.奥-高公式与斯托克斯公式(1)(2)4..向量场的散度与旋度称为散度,称为旋度.二、练习题 10.1计算下列第一型曲线积分:(1)计算,其中为连接,,的直线段所围成的围线.解:如图10-1,;O11ABxy图10-1;..----(2),其中为摆线,的第一拱.解:摆线的

3、第一拱,则..(3),其中是.解:是关于的奇函数,而是关于轴对称.由第一型曲线积分的对称性知:.(x,y)a/2axyOt图10-2(4),其中为圆周.解:如图10-2,方程为:,其中.原式.(5),其中为圆周.解:的参数方程为:...zOBaxACyaa图10-3(6)计算球面在第一象限上的边界曲线的形心.解:不妨假设,如图10-3,..  ----其中;;..故.又由于图形的对称性知.(7)设的方程为,其线密度,求对于原点处的单位质点引力.解:的极坐标方程为,,,..由对称性知.10.2计算下列第二型曲线积分:(1),为抛物线.解:原式

4、.(2),其中为抛物线段,为直线.解:原式----.(3),为沿参数增加的方向进行的曲线.zOB1xACy11图10-4解:原式.(4),为球面的第一象限中的部分的边界,当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方.解:如图10-4,由对称性知原积分为.,从到.原积分.(5),是从沿曲线到点.解:补充直线段,从到.原积分.(6),其中为域的正方向的周线.解:由格林公式,----.(7),为沿正向进行,而不经过坐标原点的简单闭曲线.  图10-5解:(1)若原点不在所围的区域内,直接应用格林公式(2)若原点在所围成的区域内,如图10-5,在原点附

5、近作一个充分小的圆周,其方向为顺时针方向,设与所围成的复连域为,则.(8).解:.故积分与路径无关.1A3xyo -1B(3,-1)图10-6C如图10-6,选取路径,计算积分.原积分.(9).1OB(1,)xy图10-7A解:,故积分与路径无关,如图10-7,选取路径计算积分.原积分----.10.3计算下列第一型曲面积分:2图10-8(1),是在第一象限的部分.解:,.如图10-8,.a图10-9(2),是的表面.解:如图10-9,取.取,.则.(3)设曲面的面密度为,求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量.解:由对称性知:..----..

6、故质心坐标为..由对称性知..10.4计算下列第二型曲面积分:(1),是由与所围成的立体的表面内侧.解:由高斯公式知.(2),是由,及所围成立体表面外侧.解:由高斯公式.(3),为球面的外侧.解:.----由对称性知.故原积分设,,,则仍有..(4)求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量.解:. 三、测验题 1.1.     填空(1)是曲线,其周长为,则等于.解:由积分的对称性知,又即:,故.(2)是顺时针方向的光滑封闭曲线,所围成的平面图型的面积为,则.解:由格林公式,.(3).(4)略.2.2.     选择(1).(2).(3)略.

7、(4),其中是平面被柱面所截得部分的上侧,则等于().A.B.C.D.,.故,,,有,,.----.选取坐标:,,则.,应选B.1.计算下列各题(1),其中是从沿,到.解:补充直线段,,其中..(2)求摆线,的弧的重心.解:....----故,.(3)计算,其中是从轴正向看的方向为顺时针方向.解:取为被所截得的部分,由右手定则方向为下侧,根据斯托克斯公式有:.(4),其中是在的第一象限部分的下侧.解:补面,,,,,取上侧;,,,取左侧;,,,取后侧..---

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