第十章曲线积分和曲面积分

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1、-第十章第十章曲线积分和曲面积分 一、一、基本内容 （一）第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义若是封闭的，则记作．(2)第一型曲线积分的计算2.第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义（2）第一型曲面积分的计算（二）第二型曲线积分1第二型曲线积分的定义设，当，，都存在时，其中是的单位切向量，称为一般形式的第二型曲线积分.2.第二型曲线积分的计算3.格林公式及其一些命题（1）格林公式（2）若、、、在单连通域上均连续，则下列四个命题等价：1)只依赖于区域内的起点与终点，而与连结、的积分路径无关；2)在区域上，是某

2、一个函数的全微分，且----点是内的某一定点，点是内的动点；3)在区域上的每一点处都成立；4)，其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线．（三）第二型曲面积分1.第二型曲面积分的定义称为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积分号将写成．2.第二型曲面积分的计算,同理计算,．3.奥-高公式与斯托克斯公式（1）（2）4..向量场的散度与旋度称为散度,称为旋度．二、练习题 10.1计算下列第一型曲线积分：（1）计算,其中为连接，，的直线段所围成的围线．解：如图10-1，；O11ABxy图10-1；．．----（2），其中为摆线，的第一拱．解：摆线的

3、第一拱，则．．（3），其中是．解：是关于的奇函数,而是关于轴对称.由第一型曲线积分的对称性知：．(x,y)a/2axyOt图10-2（4），其中为圆周．解：如图10-2，方程为：，其中．原式．（5），其中为圆周．解：的参数方程为：．．．zOBaxACyaa图10-3（6）计算球面在第一象限上的边界曲线的形心．解：不妨假设，如图10-3，．．  ----其中；；．．故．又由于图形的对称性知．（7）设的方程为，其线密度，求对于原点处的单位质点引力．解：的极坐标方程为，，，．．由对称性知．10.2计算下列第二型曲线积分：（1），为抛物线．解：原式

4、．（2），其中为抛物线段，为直线．解：原式----．（3），为沿参数增加的方向进行的曲线．zOB1xACy11图10-4解：原式．（4），为球面的第一象限中的部分的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方．解：如图10-4，由对称性知原积分为．，从到．原积分．（5），是从沿曲线到点．解：补充直线段，从到．原积分．（6），其中为域的正方向的周线．解：由格林公式，----．（7），为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线．  图10-5解：（1）若原点不在所围的区域内，直接应用格林公式（2）若原点在所围成的区域内，如图10-5，在原点附

5、近作一个充分小的圆周，其方向为顺时针方向，设与所围成的复连域为，则．（8）．解：．故积分与路径无关．1A3xyo -1B(3,-1)图10-6C如图10-6，选取路径，计算积分．原积分．（9）．1OB(1,)xy图10-7A解：，故积分与路径无关，如图10-7，选取路径计算积分．原积分----．10.3计算下列第一型曲面积分：2图10-8（1），是在第一象限的部分．解：，．如图10-8，．a图10-9（2），是的表面．解：如图10-9，取．取，．则．(3)设曲面的面密度为，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量．解：由对称性知：．．----．．

6、故质心坐标为．．由对称性知．．10.4计算下列第二型曲面积分：(1),是由与所围成的立体的表面内侧．解：由高斯公式知．（2），是由，及所围成立体表面外侧．解：由高斯公式．（3），为球面的外侧．解：．----由对称性知．故原积分设，，，则仍有．．（4）求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量．解：． 三、测验题 1.1.     填空（1）是曲线，其周长为，则等于．解：由积分的对称性知，又即：，故．（2）是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则．解：由格林公式，．（3）.（4）略．2.2.     选择（1）.（2）.（3）略．

7、（4），其中是平面被柱面所截得部分的上侧，则等于（）．A.B.C.D.，．故，，，有，，．----．选取坐标：，，则．，应选B．1.计算下列各题（1），其中是从沿，到．解：补充直线段，，其中．．(2)求摆线，的弧的重心．解：．．．．----故，．（3）计算，其中是从轴正向看的方向为顺时针方向．解：取为被所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根据斯托克斯公式有：．（4），其中是在的第一象限部分的下侧．解：补面，，，，，取上侧；，，，取左侧；，，，取后侧．．---